Ghép phân số (Fraction builder)
Cuộc sống hiếm khi chia hết tròn trịa: 1 chiếc bánh chia cho 3 người, 1 giờ học chia làm 4 phần, 1 mảnh đất chia cho nhiều người thừa kế. Phân số là công cụ toán học diễn tả chính xác "một phần của một tổng thể", giúp nói "đúng 1/2" thay vì chỉ "gần một nửa".
Một chiếc bánh pizza tròn được cắt thành 6 phần bằng nhau để chia cho cả nhóm bạn. Bấm vào từng ô để "lấy phần bánh" và xem phần đó viết thành phân số như thế nào.
Con người đã cần đến phân số từ rất lâu — người Ai Cập cổ đại (khoảng 1650 năm TCN, ghi lại trong cuộn giấy cói toán học nổi tiếng gọi là Rhind Papyrus) đã biết chia bánh mì, lương thực cho nhiều người bằng phân số, dù cách viết của họ khác hẳn ngày nay (họ hầu như chỉ dùng "phân số đơn vị" — tử số luôn là 1, như 1/2, 1/3, 1/4...).
Nguyên lý: phân số là một hoặc nhiều phần bằng nhau của một tổng thể.
Bài học: mẫu số cho biết đã chia thành bao nhiêu phần bằng nhau, tử số cho biết đã lấy mấy phần trong số đó.
So sánh hai phân số (Compare fractions)
"Giảm giá 1/3" hay "giảm giá 1/4", cái nào lời hơn? Biết so sánh phân số giúp tự tin hơn khi mua sắm, chia thời gian học, hay đọc tin tức có số liệu dạng phân số/phần trăm.
Hai bạn được chia phần từ 2 bánh pizza nhưng mỗi bánh được chia ra số phần khác nhau. Cùng lấy được 2 miếng nhưng chưa thể biết ai được nhiều bánh hơn. Việc phân định còn khó hơn khi số miếng bánh mà 2 bạn lấy được từ 2 bánh cũng khác nhau. Vậy phải làm thế nào?
Tô cả hai thanh, sau đó dự đoán.
Nguyên lý: phân số có mẫu số khác nhau vẫn so sánh được, vì mỗi phân số ứng với một vị trí duy nhất trên thước đo từ 0 đến 1.
Bài học: mẫu số lớn hơn không có nghĩa là phân số lớn hơn — 1/8 nhỏ hơn 1/3 dù 8 lớn hơn 3, vì mẫu số càng lớn thì mỗi phần càng nhỏ. Kỹ năng này chúng ta dùng mỗi ngày: so sánh giảm giá 1/4 với 1/3 ở cửa hàng, hay chia đều thời gian học giữa các môn.
Cộng phân số (Fraction addition)
Khi trộn 1/4 lít sữa với 1/3 lít nước cam, hay cộng dồn 1/2 giờ làm bài tập Toán với 1/3 giờ làm bài tập Văn, ta không thể cộng thẳng tử số với tử số (1/4 + 1/3 không bằng 2/7!) mà cần áp dụng quy tắc riêng sẽ học trong bài này. Hãy cùng khám phá.
Ghép hai phân số bất kỳ, kể cả khi mẫu số khác nhau.
Dự đoán tổng trước khi ghép hai thanh lại.
Nguyên lý: chỉ cộng được hai phân số khi chúng có cùng mẫu số.
Bài học: nếu mẫu số khác nhau, phải quy đồng (chia nhỏ cả hai về cùng một số phần) trước khi cộng.
Phân số tương đương (Equivalent fractions)
Đôi khi 2 phân số trông khác hẳn nhau (như 2/4 và 1/2) nhưng lại có giá trị y hệt nhau. Không nhận ra điều này dễ khiến ta tưởng nhầm 2 công thức nấu ăn, 2 mức giảm giá, hay 2 kết quả bài kiểm tra là khác nhau trong khi chúng bằng nhau. Đây cũng là kỹ năng nền tảng để rút gọn phân số về dạng đơn giản nhất, hay quy đồng mẫu số khi cộng/trừ 2 phân số khác mẫu (xem bài "Cộng phân số").
Ghép một phân số, sau đó chia nhỏ ra thành nhiều phần hơn — xem lượng tô màu có đổi không.
Trước khi chia nhỏ
Dự đoán có bao nhiêu phần nhỏ sẽ được tô màu.
Nguyên lý: nhân cả tử số và mẫu số với cùng một số thì giá trị phân số không đổi.
Bài học: hai thanh phía trên tô cùng một lượng diện tích — chỉ khác cách chia nhỏ. Phân số không phải là "hai số" mà là một lượng duy nhất, viết được bằng nhiều cách khác nhau.
Phép nhân — mô hình mảng (Multiplication array)
Đếm từng đồ vật một rất chậm khi số lượng lớn. Phép nhân là cách "đếm nhanh" khi có nhiều nhóm bằng nhau, dùng khắp nơi từ tính tiền mua hàng, tính diện tích đất, tới lập trình máy tính.
Một hội trường xếp ghế theo hàng và cột để đón khách — thay vì đếm từng chiếc ghế một, người ta chỉ cần biết số hàng và số ghế mỗi hàng là tính ra ngay tổng số ghế. Chọn số hàng và số cột, dự đoán tổng số ô, rồi kiểm tra.
Người Ai Cập cổ đại (ít nhất từ khoảng 2000 năm TCN, ghi lại trong cuộn giấy cói Rhind Papyrus) đã có một cách nhân rất khác ngày nay: thay vì học thuộc bảng cửu chương, họ chỉ cần biết gấp đôi liên tục rồi cộng lại — cách này hoá ra chính là "phép nhân theo hệ nhị phân" mà máy tính hiện đại vẫn dùng.
Bước 1 — Lập 2 cột: cột trái bắt đầu từ 1, cột phải bắt đầu từ số muốn nhân (12). Mỗi hàng tiếp theo, gấp đôi cả hai cột — dừng lại ngay trước khi cột trái vượt qua số kia (13):
| 1 | 12 |
| 2 | 24 |
| 4 | 48 |
| 8 | 96 |
Bước 2 — Chọn các hàng ở cột trái cộng lại vừa đúng 13: 1 + 4 + 8 = 13 (đánh dấu 3 hàng này, bỏ qua hàng "2").
Bước 3 — Cộng đúng các số ở cột phải của những hàng đã đánh dấu: 12 + 48 + 96 = 156. Xong — đó chính là 13 × 12 = 156!
Vì sao lại đúng? Vì bước 2 thực chất là đang viết 13 dưới dạng nhị phân (13 = 8 + 4 + 1, tức "1101" trong hệ nhị phân) — đúng nguyên lý mà bộ vi xử lý bên trong máy tính vẫn dùng để nhân hai số ngày nay.
Dự đoán tổng số ô trước khi đếm.
Nguyên lý: phép nhân là cách đếm nhanh nhiều nhóm bằng nhau, thay vì đếm từng ô một.
Bài học: hàng × cột luôn bằng cột × hàng — xoay lưới 3×4 thành 4×3 vẫn ra đúng 12 ô, đó là lý do phép nhân có tính giao hoán. Mô hình mảng này dùng khắp nơi ngoài đời: xếp ghế hội trường, xếp khay trứng, tính số ô trong bảng Excel.
Hàng chục, hàng đơn vị (Place value)
Số mục tiêu được ẩn dưới dạng hàng chục và hàng đơn vị. Đoán xem có bao nhiêu chục và bao nhiêu đơn vị tạo nên số đó, rồi kiểm tra.
Giá trị của một chữ số phụ thuộc vào vị trí (hàng) của nó, không chỉ vào bản thân chữ số đó. Chữ số 4 ở hàng chục (trong số 47) có giá trị là 40, gấp 10 lần chữ số 4 nếu nó đứng ở hàng đơn vị.
Sở dĩ mỗi hàng "gấp 10 lần" hàng bên phải nó là vì hệ số ta đang dùng có cơ số 10 (10 chữ số 0-9, mỗi hàng là một luỹ thừa của 10: hàng đơn vị = 10⁰, hàng chục = 10¹, hàng trăm = 10²...). Đó chỉ là một lựa chọn trong nhiều cách đếm có thể có — con người chọn cơ số 10 phần lớn vì chúng ta có 10 ngón tay. Nếu đổi cơ số, quy tắc "giá trị phụ thuộc vị trí" vẫn giữ nguyên, chỉ có "gấp bao nhiêu lần mỗi hàng" là thay đổi. Hãy thử với cơ số 2 (hệ nhị phân) ở phần dưới để thấy rõ điều đó.
Hệ nhị phân (binary) chỉ dùng 2 chữ số: 0 và 1 — mỗi hàng gấp đôi hàng bên phải thay vì gấp 10 lần. Đây chính là cách mọi máy tính, điện thoại lưu trữ dữ liệu. Bài này chỉ "làm quen mặt"; muốn thực hành đầy đủ (đếm nhị phân, đổi qua lại với số thập phân, cộng nhị phân có nhớ), xem bài riêng dành cho hệ nhị phân.
Tỉ lệ (Ratio and scaling)
Từ pha đúng màu sơn, thu nhỏ/phóng to bản đồ, đổi tỷ giá tiền tệ, tới giữ đúng hương vị khi nấu ăn cho nhiều người hơn, tỉ lệ là công cụ giữ đúng "mối quan hệ" giữa các đại lượng dù quy mô tăng hay giảm.
Công thức làm bánh của tiệm bánh A cho biết: trong một mẻ bánh, tỉ lệ bột mì so với đường là x : y. Hãy chọn x, y (bằng 2 thanh trượt "Phần bột mì" / "Phần đường" bên dưới) và chọn số mẻ m muốn làm — rồi xem với số mẻ đó, tiệm cần bao nhiêu cốc bột và bao nhiêu cốc đường nhé.
Bột mì (xanh) — 2 cốc
Đường (cam) — 1 cốc
Hãy dự đoán trước, sau đó kiểm tra.
Nguyên lý: tỉ lệ là mối quan hệ giữ nguyên dù quy mô thay đổi.
Bài học: nhân cả hai phần của tỉ lệ với cùng một số (số mẻ) thì tỉ lệ không đổi — đó là cách công thức nấu ăn vẫn giữ đúng "vị" dù làm nhiều hay ít.
Số nguyên âm (Negative numbers)
Suốt hàng ngàn năm, người ta không dùng số âm — vì với việc đếm đồ vật, đo đạc ruộng đất... "số lượng nhỏ hơn 0" nghe vô lý (làm sao có -3 con cừu?). Số âm được ghi nhận sớm nhất ở Trung Quốc khoảng 200 năm TCN, dùng que tính đỏ cho số dương và que đen cho số âm để ghi nợ trong buôn bán (đỏ = tài sản, đen = nợ). Đến khoảng thế kỷ 7, nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta là người đầu tiên viết hẳn ra quy tắc tính toán với số âm, cũng dùng đúng hình ảnh "tài sản" và "nợ". Ở châu Âu, số âm còn bị nhiều nhà toán học coi là "vô lý" cho tới tận thế kỷ 18 — mãi khi ngân hàng, sổ sách kế toán trở nên phổ biến, nhu cầu ghi số âm cho khoản nợ mới khiến số âm được chấp nhận rộng rãi.
Nhiệt độ dưới 0°C, tài khoản ngân hàng bị âm, độ cao dưới mực nước biển, độ chênh lệch thua trong thể thao — nhiều đại lượng trong đời sống cần biểu diễn bằng số nhỏ hơn 0, không chỉ nói mơ hồ "âm" hay "thiếu".
Dự đoán người đi bộ sẽ dừng ở đâu, sau đó thực hiện bước đi và kiểm tra trên trục số.
Dự đoán vị trí mới trước khi thực hiện.
Nguyên lý: dấu "+" và "−" không chỉ là phép tính, mà còn là hướng đi trên trục số.
Bài học: cộng một số dương là bước sang phải, cộng một số âm là bước sang trái (tức lùi lại) — số càng âm thì lùi càng nhiều.
Hàm số bậc nhất (Linear function)
Rất nhiều mối quan hệ trong đời sống tăng/giảm đều đặn theo 1 tỉ lệ cố định: tiền taxi tăng đều theo số km đi, tiền điện tăng đều theo số kWh dùng, quãng đường tăng đều theo thời gian khi đi tốc độ không đổi. Hàm số bậc nhất là công cụ toán học mô tả chính xác mọi mối quan hệ "tăng đều" như vậy, và giúp dự đoán được giá trị trong tương lai chỉ từ vài điểm dữ liệu.
Đồ thị hoá là cách biểu diễn một phương trình đại số bằng hình ảnh — thay vì chỉ nhìn con số, ta thấy được hình dạng của mối quan hệ giữa x và y. Cách biểu diễn này cực kỳ hữu ích: nhiều bài toán phức tạp, khi vẽ thành đồ thị, bỗng trở nên dễ hình dung hơn hẳn so với chỉ nhìn công thức.
Kéo một trong hai điểm để đổi hình dạng đường thẳng, hoặc kéo chính đường thẳng để trượt nó. Ngược lại, con cũng có thể gõ thẳng số vào ô hệ số a, b bên dưới (hoặc dùng nút mũi tên nhỏ, mỗi lần đổi 0,1) — đồ thị sẽ tự động thay đổi theo đúng số vừa chỉnh.
Nguyên lý: một đường thẳng được xác định hoàn toàn bởi độ dốc và điểm cắt trục y (y = độ dốc × x + điểm cắt).
Bài học: kéo một điểm làm đường xoay quanh điểm còn lại (đổi cả độ dốc lẫn điểm cắt); kéo cả đường thẳng làm nó trượt song song (chỉ đổi điểm cắt, độ dốc giữ nguyên) — hai thao tác dạy hai khái niệm khác nhau.
Phương trình bậc 2 — Hoàn thiện hình vuông kiểu Al-Khwarizmi
Trước khi có công thức nghiệm phải học thuộc lòng, người ta giải phương trình bậc 2 bằng cách vẽ hình — không cần nhớ công thức nào cả. Hiểu cách vẽ này, công thức nghiệm không còn là dãy ký hiệu học vẹt, mà là bản tóm tắt của đúng 1 thao tác hình học tự nhiên.
Cách giải này có từ hơn 1200 năm trước — con sẽ tự làm lại đúng cách đó với ví dụ x² + 10x = 39 ngay bên dưới.
Biểu thức x² + bx có 2 "cấu phần" hình học, rời nhau, chưa ghép gì cả: 1 hình vuông cạnh x (diện tích x²), và 1 hình chữ nhật cạnh x × b (diện tích bx). Ghép 2 mảnh này lại kiểu nào để tạo ra 1 hình gần hình vuông nhất, dễ "hoàn thiện" nhất? Bấm thử cả 2 cách bên dưới để tự so sánh:
Hình dưới gồm 1 hình vuông cạnh x và 2 hình chữ nhật bằng nhau (vì ta chủ động chia đôi "bx" ra làm 2 mảnh bằng nhau như vậy) — còn thiếu đúng 1 góc vuông nhỏ, đánh dấu bằng khung nét đứt. Kéo thanh trượt bên dưới để đổi kích cỡ ô vuông xanh ở góc dưới-phải — kéo tới khi nó vừa khít với khung nét đứt (không thừa ra ngoài, không để hở bên trong) thì dừng. Con số chính xác + lý do vì sao sẽ hiện ra ngay khi con tìm đúng.
Cách giải này ghi trong cuốn sách Al-Jabr wa'l-Muqabala của nhà toán học Ba Tư Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, viết tại Baghdad năm 820. Chính chữ "algebra" (đại số) bắt nguồn từ từ al-jabr trong tên sách — nghĩa gốc là "hoàn thiện" hoặc "phục hồi", đúng thao tác "thêm hình vuông nhỏ để hoàn thiện góc thiếu" con vừa làm. Còn chữ "algorithm" (thuật toán) lại bắt nguồn từ chính tên ông (Khwarizmi → Latin hoá thành "Algorithmi"). Hai từ khoá lớn nhất của toán học và khoa học máy tính hiện đại, ra đời từ cùng 1 cuốn sách hơn 1200 năm trước.
Nguyên lý: phương trình x² + bx = c có thể giải bằng hình học — hoàn thiện hình vuông cạnh (x + b/2), diện tích của nó luôn bằng c + (b/2)².
Bài học: công thức nghiệm quen thuộc mà nhiều người học thuộc lòng không phải 1 công thức tách biệt phải nhớ riêng — nó chỉ là cách viết gọn lại đúng thao tác "hoàn thiện hình vuông" mà con vừa tự tay làm, tổng quát hoá cho mọi hệ số. (Ghi chú thêm: số phức — 1 khái niệm nâng cao hơn — thực ra không bắt nguồn từ việc giải phương trình bậc 2 như nhiều người tưởng, mà từ phương trình bậc 3, do nhà toán học Cardano khám phá ở thế kỷ 16.)
Số nguyên tố & hình chữ nhật (Prime rectangles)
Ngày nay số nguyên tố cực kỳ quan trọng trong công nghệ thông tin: các hệ thống mật mã bảo vệ giao dịch ngân hàng, tin nhắn, mật khẩu trên Internet (ví dụ thuật toán RSA) dựa vào việc nhân hai số nguyên tố rất lớn thì dễ, nhưng "phân tích ngược" một số rất lớn thành 2 số nguyên tố ban đầu thì cực kỳ khó và tốn thời gian. Chính sự khó khăn đó tạo nên độ an toàn của mật mã bảo vệ dữ liệu của hàng tỷ người mỗi ngày.
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ chia hết cho đúng 1 và chính nó (như 2, 3, 5, 7, 11...). Chúng được xem như những "viên gạch" cơ bản nhất của số học: mọi số tự nhiên khác 1 đều có thể phân tích thành tích của các số nguyên tố, và cách phân tích đó là duy nhất — giống như mọi hợp chất hoá học đều tạo từ các nguyên tố hoá học cơ bản. Người Hy Lạp cổ đại đã nghiên cứu số nguyên tố từ khoảng 2.300 năm trước: Euclid chứng minh có vô số số nguyên tố (~300 TCN), còn Eratosthenes nghĩ ra cách "sàng" tìm số nguyên tố (module bên cạnh) khoảng 100 năm sau đó.
Một số nguyên tố không bao giờ xếp vừa khít vào một hình chữ nhật (khác 1 hàng) — nhưng luôn có ít nhất một cách xếp chỉ dư đúng 1 ô. Ngược lại: nếu một số xếp vừa khít vào một hình chữ nhật (khác 1 hàng dài), không dư ô nào, thì số đó chắc chắn không phải là số nguyên tố — vì hình chữ nhật vừa khít đó chính là bằng chứng số đó chia hết cho một số khác 1 và chính nó. Nhập một số bất kỳ (nguyên tố hay không) để tự kiểm chứng cả hai trường hợp.
Nguyên lý: xếp 1 số vào hình chữ nhật (khác 1 hàng dài) — số nguyên tố luôn dư đúng 1 ô, hợp số luôn có ít nhất 1 cách xếp vừa khít.
Bài học: vì vậy khi xếp một số nguyên tố vào hình chữ nhật (khác 1 hàng dài), luôn thừa ra đúng 1 ô. Còn khi một số xếp vừa khít (không dư ô nào) vào ít nhất một hình chữ nhật khác 1 hàng, đó chính là dấu hiệu chắc chắn số đó không phải số nguyên tố.
Sàng số nguyên tố (Sieve of Eratosthenes)
Kiểm tra từng số một xem có phải số nguyên tố hay không rất chậm khi cần tìm nhiều số nguyên tố cùng lúc (ví dụ toàn bộ số nguyên tố dưới 1000). Sàng Eratosthenes giải quyết việc đó bằng cách loại bỏ hàng loạt hợp số cùng lúc, nhanh hơn hẳn kiểm tra từng số riêng lẻ, và là nền tảng cho các thuật toán tìm số nguyên tố mà máy tính vẫn dùng ngày nay.
Phương pháp "sàng" này do chính nhà toán học Hy Lạp Eratosthenes nghĩ ra khoảng 200 năm TCN (xem thêm bối cảnh số nguyên tố ở module "Số nguyên tố & hình chữ nhật" ngay trước bài này) — hơn 2200 năm sau vẫn là một trong những cách trực quan nhất để tìm số nguyên tố bằng tay.
Ô được viền cam là ô đến lượt — hãy bấm đúng ô đó. Bấm xong, mọi bội số của nó tự động bị gạch, rồi ô nhỏ nhất còn sống sót tiếp theo sẽ đến lượt. Số 1 không phải là số nguyên tố, mờ sẵn ngay từ đầu.
Nguyên lý: một số là hợp số nếu nó là bội của một số nhỏ hơn nó.
Bài học: gạch bỏ đúng thứ tự (nhỏ đến lớn) thì số nào "sống sót" chắc chắn là số nguyên tố — không cần đoán, không cần bấm hết mọi số, chỉ cần sàng đến khoảng √1000 ≈ 31.
Ước chung / Bội chung (GCD / LCM)
Chia đều đồ vật thành nhóm lớn nhất có thể, hay tính xem 2 việc lặp lại theo chu kỳ khác nhau khi nào trùng nhau, là 2 bài toán rất hay gặp ngoài đời, và đều giải được nhanh gọn bằng đúng 1 kỹ thuật sẽ học trong bài này. Ví dụ nổi tiếng nhất của loại thứ hai: ông bà ta gọi tên năm bằng cách ghép 1 trong 10 Thiên Can (Giáp, Ất, Bính...) với 1 trong 12 Địa Chi (Tý, Sửu, Dần...): Giáp Tý, Ất Sửu, Bính Dần... Vì sao phải đúng 60 năm mới quay lại tên Giáp Tý ban đầu, không phải 50 hay 70? Vì chu kỳ 10 (Thiên Can) và chu kỳ 12 (Địa Chi) chỉ khớp lại đúng vị trí xuất phát cùng lúc sau đúng Bội chung nhỏ nhất của 10 và 12, tức 60 năm. Đây cũng là lý do 60 tuổi được gọi là "đủ 1 hoa giáp" trong văn hoá Việt Nam. (Xem thêm ví dụ khác ở mục 2 bên dưới.)
Ước của một số là những số chia hết đúng số đó (không dư). Ví dụ với 4 và 6:
- Ước của 4 là: 1, 2, 4 (vì 4÷1=4, 4÷2=2, 4÷4=1 — đều chia hết, không dư)
- Ước của 6 là: 1, 2, 3, 6
Nhìn 2 danh sách trên, số nào có mặt ở cả hai? Chỉ có 1 và 2 — gọi là ước chung của 4 và 6. Số lớn nhất trong các ước chung (ở đây là 2) gọi là Ước chung lớn nhất, viết tắt ƯCLN.
Bội của một số thì làm ngược lại — là số đó nhân với 1, 2, 3... Ví dụ bội của 4 là: 4, 8, 12, 16, 20...; bội của 6 là: 6, 12, 18, 24... Số nào có mặt ở cả 2 danh sách bội gọi là bội chung — nhỏ nhất trong đó (ở đây là 12) gọi là Bội chung nhỏ nhất, viết tắt BCNN.
Cách tìm ƯCLN nhanh nhất (thuật toán Euclid) được nhà toán học Hy Lạp Euclid ghi lại trong bộ sách "Elements" khoảng 300 năm TCN — hơn 2300 năm sau vẫn là một trong những thuật toán nền tảng của khoa học máy tính hiện đại.
Dùng ƯCLN khi cần chia đều một thứ gì đó thành các phần bằng nhau, và muốn phần chia được lớn nhất có thể. Ví dụ: có 12 viên kẹo và 18 viên bi, muốn chia đều thành các túi quà giống hệt nhau (mỗi túi có cùng số kẹo, cùng số bi) — túi to nhất có thể chia được bao nhiêu túi? Đáp án chính là ƯCLN(12, 18) = 6 túi (mỗi túi 2 kẹo, 3 bi).
Dùng BCNN khi 2 việc lặp lại theo chu kỳ khác nhau, và muốn biết khi nào chúng trùng nhau lần đầu. Ví dụ: một chuyến xe buýt quay lại bến mỗi 12 phút, một chuyến khác mỗi 18 phút — nếu cùng xuất phát thì cứ sau bao nhiêu phút 2 xe lại gặp lại nhau ở bến? Đáp án chính là BCNN(12, 18) = 36 phút.
Chọn 2 số bất kỳ (kéo thanh trượt hoặc gõ số), rồi bấm nút để xem ƯC (ước chung) hoặc BC (bội chung) của chúng, hiển thị bằng sơ đồ Venn — phần giao nhau ở giữa chính là các ước/bội chung.
Với số nhỏ, liệt kê hết ước số (như mục 3 ở trên) không khó. Nhưng với số lớn — ví dụ ƯCLN(2024, 748) — liệt kê hết ước của 2024 đã mất công. Có 1 cách nhanh hơn hẳn: chia liên tiếp lấy số dư. ƯCLN(a, b) luôn bằng ƯCLN(b, số dư của a chia b) — cứ lặp lại tới khi số dư bằng 0, số còn lại chính là ƯCLN.
Thuật toán Euclid không chỉ nhanh hơn cách phân tích thừa số khi số lớn — nó còn là 1 trong những thuật toán cổ nhất vẫn còn được dùng nguyên vẹn trong máy tính hiện đại, hơn 2300 năm sau khi Euclid ghi lại trong bộ sách Elements (khoảng 300 năm TCN). Nó là 1 bước tính toán nền tảng bên trong hệ mã hoá RSA — công nghệ đang bảo vệ hầu hết giao dịch ngân hàng, mua sắm trực tuyến ngày nay.
Nguyên lý: ước chung là những số chia hết cả hai số; bội chung là những số mà cả hai số cùng chia hết vào nó.
Bài học: ƯCLN luôn là số lớn nhất trong vùng giao của hai vòng tròn, còn BCNN luôn là số nhỏ nhất — hai khái niệm đối xứng nhau theo hai chiều ngược nhau. Ngoài đời, ƯCLN giúp rút gọn phân số về dạng tối giản hoặc chia đều đồ vật thành nhóm lớn nhất có thể (như bài kẹo/bi ở đầu trang); BCNN giúp xếp lịch trùng nhau (xe buýt, ca trực) hoặc quy đồng mẫu số khi cộng phân số.
Số 8 kỳ diệu — Vòng lặp cộng chữ số
Dành cho LQM
Bấm để nhân 8 lần lượt với 1, rồi 2, rồi 3... Sau mỗi lần nhân, cộng các chữ số của kết quả lại — nếu vẫn còn từ 2 chữ số trở lên thì cộng tiếp — tới khi chỉ còn đúng 1 chữ số (số đó tô đậm màu đỏ để dễ theo dõi).
Bài học này bắt đầu với số 8. Xong với số 8 hãy chọn các số khác để làm tương tự, con thử ít nhất 3 số nữa trước khi tìm ra quy luật.
Bấm vào 1 dòng, hoặc kéo thanh trượt, để xem các dòng phát triển. Dòng tô nền xanh = giá trị hiện tại; số đỏ đậm = kết quả digital root của dòng đó.
Câu hỏi thống kê là gì? (Statistical questions)
Vì sao phải học thống kê? Mỗi ngày, con người cần ra quyết định dựa trên thông tin chưa chắc chắn — cửa hàng cần biết nên nhập bao nhiêu áo cỡ nào, bác sĩ cần biết loại thuốc nào hiệu quả hơn, nhà trường cần biết môn học nào học sinh đang gặp khó khăn. Thống kê là công cụ toán học giúp biến dữ liệu thật thành quyết định có cơ sở rõ ràng.
Nhưng trước khi thu thập bất kỳ dữ liệu nào, có 1 bước phải làm đúng trước tiên: đặt đúng câu hỏi. Cô giáo hỏi Bình: "Em bao nhiêu tuổi?" — chỉ ra đúng 1 con số. Cô giáo hỏi cả lớp: "Các em bao nhiêu tuổi?" — ra một loạt con số khác nhau. Câu hỏi nào mới thật sự cần đến... thống kê?
Đây là bước đầu tiên trong quy trình mà mọi nhà khoa học, nhà báo, công ty đều dùng khi muốn tìm hiểu điều gì đó bằng số liệu — gọi là khung GAISE (Guidelines for Assessment and Instruction in Statistics Education), do Hiệp hội Thống kê Hoa Kỳ (ASA) xây dựng và được Hội Giáo viên Toán học Mỹ (NCTM) công nhận rộng rãi: Đặt câu hỏi → Thu thập dữ liệu → Phân tích → Diễn giải. Giống như xây nhà — móng đặt sai chỗ thì tường, mái xây đẹp tới đâu cũng đổ. Nếu bước đầu tiên đặt sai câu hỏi (hỏi thứ chỉ có 1 đáp án cố định), thì dù có thu thập dữ liệu, vẽ biểu đồ đẹp tới đâu cũng vô nghĩa — vì làm gì có gì để "thống kê" đâu!
Bấm "Có" hoặc "Không phải" cho từng câu hỏi dưới đây, rồi xem giải thích.
Nguyên lý: câu hỏi thống kê là câu hỏi mà khi hỏi nhiều đối tượng khác nhau sẽ ra nhiều câu trả lời khác nhau (có "biến thiên"). Hỏi 1 người, dù câu hỏi nghe có vẻ giống, cũng không phải câu hỏi thống kê.
Bài học: đây là bước đầu tiên bắt buộc trong quy trình điều tra thống kê chuẩn quốc tế (khung GAISE: Đặt câu hỏi → Thu thập dữ liệu → Phân tích → Diễn giải) — đặt sai câu hỏi thì mọi bước phân tích, vẽ biểu đồ sau đó đều vô nghĩa.
Bảng Galton — trật tự nảy sinh từ hỗn loạn (Galton board)
Rất nhiều hiện tượng quanh ta, như chiều cao học sinh trong lớp, điểm thi của cả trường, hay độ chính xác khi nhà máy sản xuất hàng loạt, đều có 1 điểm chung bất ngờ: vẽ ra thành biểu đồ, chúng có xu hướng tạo thành đúng 1 hình dạng quen thuộc. Biết trước hình dạng đó giúp dự đoán tốt hơn, và giúp phát hiện những điều bất thường, ví dụ bác sĩ nhận ra ngay khi kết quả khám của 1 người lệch hẳn khỏi hình chuông bình thường.
Một tấm bảng có nhiều hàng đinh xếp so le. Thả 1 viên bi từ trên xuống — mỗi lần chạm đinh, bi rẽ trái hoặc rẽ phải, mỗi bên đúng 50%, hoàn toàn ngẫu nhiên. Thả thật nhiều bi, đống bi cuối cùng sẽ có hình dạng gì?
Bảng này do nhà khoa học người Anh Francis Galton phát minh, công bố lần đầu năm 1877 và mô tả đầy đủ trong sách Natural Inheritance năm 1889 — ông muốn có 1 cách "nhìn thấy bằng mắt" quy luật toán học ẩn sau vô số hiện tượng tự nhiên (như chiều cao con người). Mô hình khổng lồ cao tới 3,3 mét của vợ chồng nhà thiết kế Charles & Ray Eames từng gây choáng ngợp cả triệu người xem tại Hội chợ Thế giới New York năm 1964 — vẫn là 1 trong những trưng bày khoa học nổi tiếng nhất lịch sử.
Nguyên lý: mỗi lần bi chạm đinh là 1 quyết định ngẫu nhiên độc lập — giống hệt tung 1 đồng xu (rẽ trái = ngửa, rẽ phải = sấp). Khay bi rơi vào cuối cùng phụ thuộc tổng số lần rẽ phải trong suốt hành trình qua 8 hàng đinh.
Bài học: từng sự kiện đơn lẻ (rẽ trái hay phải ở 1 đinh) hoàn toàn không đoán trước được — nhưng gộp rất nhiều sự kiện độc lập lại, kết quả luôn cho ra 1 hình dạng dự đoán được: hình chuông, cao ở giữa, thấp dần ra 2 bên. Trật tự tự nhiên sinh ra từ hỗn loạn.
Thật hay giả? — Ngẫu nhiên thật trông như thế nào (Clustering illusion)
Cách con người nhìn nhận dữ liệu ngẫu nhiên đôi khi không thật sự chính xác: tin có "vận đỏ" khi chơi cờ bạc, tin số này "đang ra nhiều nên sắp ra tiếp" ở xổ số, tin cổ phiếu "đang lên" sẽ tiếp tục lên. Hiểu đúng ngẫu nhiên thật trông ra sao giúp đưa ra quyết định hợp lý hơn, cả trong tiền bạc lẫn trong cách đánh giá thông tin hàng ngày.
Nếu tự bịa ra 1 chuỗi 20 lần Sấp/Ngửa cho "giống" ngẫu nhiên nhất có thể, liệu có phân biệt được với chuỗi tung xu thật không?
Não người có 1 "tật" thú vị: luôn nghĩ ngẫu nhiên thật phải trông "đều đặn", ít khi ra liền 1 mặt nhiều lần. Nhà tâm lý học Daniel Kahneman (đoạt giải Nobel Kinh tế 2002) và Amos Tversky gọi đây là thiên kiến "đại diện" (representativeness heuristic). Ví dụ nổi tiếng nhất minh hoạ đúng "tật" này: nghiên cứu năm 1985 của Thomas Gilovich và cộng sự về "bàn tay nóng" trong bóng rổ — khán giả tin chắc có cầu thủ "đang vào phong độ", ném liên tiếp trúng nhiều lần không phải ngẫu nhiên — nhưng khi phân tích số liệu thật, chuỗi ném trúng liên tiếp đó hoá ra khớp chính xác với những gì xác suất thuần tuý dự đoán, chẳng có "phong độ nóng" nào cả!
Thử với 6 lần tung trước cho dễ hình dung. Đây là 2 chuỗi — 1 chuỗi máy tung xu thật, 1 chuỗi 1 bạn học sinh tự bịa cho "giống ngẫu nhiên":
Thấy chưa — chuỗi bịa trông "đẹp", đều đặn, nhưng đó lại chính là dấu hiệu không phải ngẫu nhiên thật! Ngẫu nhiên thật hay có cụm dài bất ngờ. Giờ thử với chuỗi dài hơn (20 lần) xem con có qua mặt được không nhé.
Bấm S hoặc N liên tiếp 20 lần, cố làm cho "giống ngẫu nhiên" nhất có thể.
Nguyên lý: não người nghĩ ngẫu nhiên "phải" trông đều đặn, xen kẽ (kiểu SNSNSN) — trong khi ngẫu nhiên thật lại hay tạo ra các chuỗi liền dài hơn hẳn trực giác cho phép (kiểu SSSSN). Với 20 lần tung, xác suất có ít nhất 1 lần 4 mặt liền nhau đã hơn 50%.
Bài học: đây gọi là "ảo giác cụm" (clustering illusion) — cùng cơ chế tâm lý khiến người ta tin "cầu thủ đang vào phong độ nóng" hay "số này đang ra nhiều nên sắp ra tiếp" (đều là cách hiểu phổ biến nhưng chưa có cơ sở toán học vững chắc).
Biểu đồ cột kép — So sánh 2 bộ dữ liệu (Double bar chart)
Gần như mọi thông tin quan trọng trong đời sống hiện đại, từ tin tức, báo cáo khoa học, quảng cáo, tới chính sách nhà nước, đều trình bày bằng biểu đồ. Biết đọc đúng biểu đồ giúp hiểu chính xác hơn, kể cả khi cách trình bày dữ liệu có thể gây hiểu lầm (ví dụ cắt bớt trục để phóng đại chênh lệch nhỏ).
Bảng dưới đây cho biết số học sinh Nam/Nữ thích từng môn thể thao. Chỉ nhìn bảng số này, môn nào Nam thích nhất? Môn nào Nữ thích nhất?
Biểu đồ cột do kỹ sư kiêm nhà kinh tế người Scotland William Playfair phát minh năm 1786, trong cuốn sách Commercial and Political Atlas. Bối cảnh ra đời khá tình cờ: khi vẽ biểu đồ thương mại cho nhiều nước, ông không có đủ dữ liệu nhiều năm liên tiếp của Scotland để vẽ biểu đồ đường như các nước khác — chỉ có số liệu của 1 năm duy nhất — nên đành nghĩ ra cách vẽ cột để biểu diễn. Vô tình, ông đã khai sinh ra 1 trong những công cụ trực quan hoá phổ biến nhất lịch sử, hơn 240 năm sau vẫn được dùng ở khắp mọi nơi.
Nam thích môn nào nhất?
Nữ thích môn nào nhất?
Nguyên lý: biểu đồ cột kép đặt 2 cột liền nhau cho mỗi nhóm cần so sánh, dùng chung 1 trục — giúp mắt nhìn thấy chênh lệch ngay lập tức mà không cần đọc từng con số.
Bài học: trực quan hoá không hề thay đổi dữ liệu thật — nó chỉ thay đổi tốc độ và độ chính xác khi con người hiểu dữ liệu đó. Cùng 1 bảng số, đọc bằng mắt qua bảng thường chậm và dễ nhầm hơn hẳn nhìn qua biểu đồ.
Xúc xắc không bắc cầu — Khi A thắng B, B thắng C, nhưng C lại thắng A
Trong đời thường, nếu đội A thường thắng đội B, đội B thường thắng đội C, ta hay nghĩ đội A "chắc chắn giỏi hơn" đội C. Trực giác này đúng trong hầu hết trường hợp, nhưng có 1 bộ 4 xúc xắc đặc biệt chứng minh trực giác này có thể sai hoàn toàn.
Bấm 1 lần để máy tự lăn cả 4 cặp liền kề (mỗi cặp 100 lần), xem chuyện gì xảy ra khi đi hết vòng:
Con vừa thấy A thắng B, B thắng C, C thắng D, D thắng A — 1 vòng tròn khép kín. Vậy nếu so trực tiếp A với C (bỏ qua B ở giữa), ai thắng?
Tự chọn 2 xúc xắc bất kỳ, lăn thử 100 lần để kiểm chứng thêm:
Bộ xúc xắc này do nhà thống kê học Bradley Efron phát minh, được nhà toán học/nhà báo khoa học Martin Gardner phổ biến trên tạp chí Scientific American năm 1970. Điều đặc biệt: với bất kỳ xúc xắc nào trong 4 xúc xắc A, B, C, D, luôn có 1 xúc xắc khác thắng nó với xác suất 2/3 — không có xúc xắc nào là "mạnh nhất" tuyệt đối, đúng như trò Kéo-Búa-Bao.
Nguyên lý: quan hệ "thường thắng hơn" giữa các xúc xắc tạo thành đúng 1 vòng tròn khép kín: A thắng B (xác suất 2/3) → B thắng C (2/3) → C thắng D (2/3) → D thắng A (2/3) — không có điểm dừng, không có xúc xắc "giỏi nhất".
Bài học: quan hệ "hơn/kém" tưởng chừng luôn bắc cầu được (nếu A hơn B, B hơn C thì A hơn C) — với số thực thì đúng vậy thật. Nhưng với xác suất thắng giữa 2 đối tượng ngẫu nhiên, tính bắc cầu này không được đảm bảo. Trực giác đúng ở lĩnh vực này (so sánh số) không tự động đúng ở lĩnh vực khác (so sánh xác suất).
Nghịch lý ngày sinh — Chỉ cần 23 người là đủ
Một năm có 365 ngày, vậy chắc phải cần rất đông người mới có 2 người trùng ngày sinh, đúng không? Con thử đoán trước xem cần bao nhiêu người trong 1 phòng để xác suất có ít nhất 2 người trùng ngày sinh vượt quá 50%, câu trả lời sẽ khiến con bất ngờ.
Cần ít nhất bao nhiêu người trong phòng để xác suất có ≥2 người trùng ngày sinh vượt quá 50%?
Tưởng tượng mỗi người trong phòng bắt tay với TẤT CẢ những người còn lại, mỗi cặp đúng 1 lần. Với 6 người, thử đếm xem có bao nhiêu cái bắt tay (đường nối) — nhìn hình bên dưới:
Với 6 người có 15 cái bắt tay — nhiều hơn hẳn số người! Công thức: n người thì có đúng n×(n-1)÷2 cặp. Đây chính là điểm mấu chốt: xác suất trùng ngày sinh không phụ thuộc số NGƯỜI, mà phụ thuộc số CẶP người — vì mỗi cặp là 1 "cơ hội" để trùng ngày sinh với nhau, không liên quan gì tới các cặp khác.
Mỗi cặp người có xác suất KHÔNG trùng ngày sinh là 364/365 (rất gần 100%, gần như chắc chắn không trùng). Nhưng khi có hàng trăm cặp cùng lúc, xác suất TẤT CẢ đều không trùng (100% × 100% × ... nhiều lần) tụt xuống rất nhanh — giống như tung đồng xu 1 lần thì gần chắc không ra toàn mặt sấp, nhưng tung 250 lần thì gần như chắc chắn có ít nhất 1 lần khác biệt. Với 23 người, số cặp là 23×22÷2 = 253 cặp — đủ nhiều để xác suất "không ai trùng" tụt xuống dưới 50%, đúng bằng mốc chuyển từ "khó xảy ra" sang "dễ xảy ra hơn" mà con vừa thấy trên biểu đồ.
Nhìn lại biểu đồ ở trên: đường cong tăng CHẬM lúc đầu (ít người, ít cặp), rồi tăng RẤT NHANH ở giữa, rồi CHẬM DẦN khi gần 100%. Lý do: số cặp người tăng theo kiểu "bình phương" (n×(n-1)÷2) chứ không tăng thẳng theo n — thêm 1 người vào nhóm nhỏ chỉ thêm vài cặp mới, nhưng thêm 1 người vào nhóm đã đông thì thêm RẤT NHIỀU cặp mới cùng lúc (người thứ 23 tạo thêm 22 cặp mới chỉ trong 1 bước!). Đó là lý do đường cong "vọt" lên nhanh ở khoảng giữa, rồi bằng lại gần đỉnh vì xác suất không thể vượt quá 100%.
Đây không phải 1 phát kiến gắn với tên riêng ai — đơn giản là 1 kết quả tự nhiên của phép tính xác suất, nhiều nhà toán học độc lập nhận ra qua thời gian. Với 70 người trong phòng, xác suất trùng ngày sinh đã lên tới hơn 99.9% — gần như chắc chắn.
Nguyên lý: xác suất không ai trùng ngày sinh giảm rất nhanh khi thêm người, vì số cặp người có thể trùng tăng theo kiểu tổ hợp (n người tạo ra n×(n-1)/2 cặp) chứ không tăng thẳng theo n.
Bài học: trực giác con người thường ước lượng theo kiểu "cần nhiều người mới trùng" (nghĩ theo từng người), trong khi câu hỏi thật sự nằm ở số cặp người (tăng nhanh hơn nhiều). Đây là dạng sai lệch trực giác rất phổ biến khi ước lượng xác suất trong đời sống.
Bài toán Monty Hall — Đổi cửa hay không?
Đây là 1 trong những bài toán xác suất gây tranh cãi nhiều nhất lịch sử: kể cả nhiều nhà toán học chuyên nghiệp cũng từng khăng khăng cho rằng đáp án đúng là sai, cho tới khi tự mô phỏng và thấy tận mắt.
Luật chơi: có 3 cửa, sau 1 cửa là phần thưởng, 2 cửa còn lại là dê. Con chọn 1 cửa. Người dẫn chương trình (luôn biết đáp án) mở 1 trong 2 cửa còn lại — luôn mở đúng cửa có dê. Con được hỏi: giữ nguyên cửa đã chọn, hay đổi sang cửa còn lại?
Đổi cửa có làm tăng xác suất thắng so với giữ nguyên không?
Bấm vào 1 cửa để chọn.
Cách 1 — hỏi đúng câu hỏi: thay vì hỏi "xác suất dồn vào đâu", hỏi trực tiếp: đổi cửa thắng khi nào? Đổi cửa THẮNG chính xác khi lựa chọn BAN ĐẦU của con SAI (vì nếu ban đầu chọn sai, người dẫn chương trình buộc phải mở đúng cửa dê còn lại, nên cửa chưa mở kia chắc chắn là thưởng). Vậy: đổi cửa thắng đúng bằng xác suất chọn sai lúc đầu — mà lúc đầu chọn sai tới 2 trong 3 cửa (2 cửa dê, chỉ 1 cửa thưởng). Không cần nghĩ tới "dồn xác suất" gì cả — chỉ cần đếm: chọn sai lúc đầu (2/3 khả năng) → đổi cửa luôn thắng; chọn đúng lúc đầu (1/3 khả năng) → đổi cửa luôn thua.
Cách 2 — phóng đại lên 100 cửa: tưởng tượng có 100 cửa thay vì 3, chỉ 1 cửa có thưởng. Con chọn 1 cửa bất kỳ (xác suất đúng chỉ 1/100). Người dẫn chương trình — luôn biết đáp án — mở tới 98 cửa dê trong số 99 cửa còn lại, chỉ chừa lại đúng 1 cửa chưa mở. Hỏi: cửa con chọn ban đầu (chọn mù, đúng 1%) hay cửa còn sót lại kia (người dẫn chương trình đã cố tình KHÔNG mở, dù biết hết) — cửa nào nhiều khả năng có thưởng hơn? Gần như chắc chắn là cửa còn sót lại — vì người dẫn chương trình đã "lọc" ra 98 cửa sai trong số 99 cửa, chỉ để sót đúng 1. Bài toán 3 cửa dùng ĐÚNG logic này, chỉ là ít cửa hơn nên chênh lệch (2/3 so với 1/3) không rõ rệt bằng.
Tên bài toán lấy theo Monty Hall, người dẫn chương trình truyền hình Mỹ Let's Make a Deal. Năm 1990, nhà báo Marilyn vos Savant giải đáp đúng bài này trên chuyên mục của mình — hàng nghìn độc giả, trong đó có nhiều người có bằng Tiến sĩ Toán, đã viết thư phản đối, khẳng định bà sai. Bà đúng.
Nguyên lý: đổi cửa thắng CHÍNH XÁC khi lựa chọn ban đầu sai — và lựa chọn ban đầu sai tới 2/3 khả năng (2 trong 3 cửa là dê). Người dẫn chương trình mở 1 cửa dê không hề thay đổi xác suất 1/3 ban đầu của cửa con đã chọn — ông ấy chỉ tiết lộ thêm thông tin về 2 cửa còn lại, dồn hết "2/3 khả năng có thưởng" của chúng vào đúng 1 cửa duy nhất chưa mở.
Bài học: việc người dẫn chương trình biết đáp án và luôn mở đúng cửa dê là chi tiết mấu chốt — nếu người dẫn mở cửa ngẫu nhiên (có thể lỡ mở trúng cửa thưởng), bài toán sẽ hoàn toàn khác. Chi tiết nhỏ về ai biết gì có thể thay đổi hẳn kết quả xác suất.
Luật Benford — Vì sao chữ số 1 xuất hiện nhiều hơn hẳn số 9
Trong rất nhiều bộ số liệu có thật ngoài đời (dân số các nước, độ dài sông, giá cổ phiếu...), chữ số đầu tiên của mỗi số không xuất hiện đều nhau: chữ số 1 xuất hiện nhiều gần gấp 6 lần chữ số 9. Đây không phải là trùng hợp, mà là 1 quy luật toán học, và nó thật sự được dùng để phát hiện gian lận số liệu tài chính.
Trong 1 dãy số tăng theo cấp số nhân (như dãy Fibonacci hay luỹ thừa của 2), chữ số đầu tiên nào xuất hiện nhiều nhất?
Nhìn trục số bên dưới, nhưng chia theo thang log (khoảng cách bằng nhau ứng với NHÂN lên cùng 1 tỉ lệ, không phải CỘNG cùng 1 lượng như trục số thường) — mỗi "vùng màu" là nơi chứa mọi số bắt đầu bằng đúng 1 chữ số:
Để ý: vùng chữ số 1 RỘNG hơn hẳn vùng chữ số 9 (rộng gấp gần 6,6 lần) — vì đi từ 1 lên 2 là NHÂN ĐÔI (tăng 100%), còn đi từ 9 lên 10 chỉ là tăng thêm hơn 1 chút (tăng ~11%), nên trên thang log, quãng đường từ 9 lên 10 ngắn hơn nhiều so với quãng đường từ 1 lên 2.
Giờ tưởng tượng 1 số cứ NHÂN ĐÔI liên tục (như luỹ thừa của 2): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512... Mỗi lần nhân đôi, số đó "đi" 1 quãng ĐỀU NHAU trên thang log (vì nhân đôi = cộng thêm đúng log(2) trên thang log, không đổi qua từng bước). Vì số đó luôn "đi" đều đặn, mà vùng chữ số 1 lại RỘNG hơn hẳn các vùng khác, nên số đó sẽ "ở lại" trong vùng chữ số 1 lâu hơn — tức xuất hiện làm chữ số đầu nhiều hơn. Thử đếm 10 số đầu tiên (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512): chữ số đầu lần lượt là 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5 — chữ số 1 xuất hiện đúng 3/10 = 30%, khớp chính xác với luật Benford!
Nhà thiên văn học Simon Newcomb là người đầu tiên nhận ra quy luật này năm 1881 — ông để ý trang đầu của cuốn bảng logarit dùng chung trong thư viện mòn nhũn hơn hẳn các trang sau (vì mọi người hay tra số bắt đầu bằng chữ số 1 hơn). Phát hiện này bị lãng quên gần 60 năm, tới khi nhà vật lý Frank Benford khám phá lại độc lập năm 1938 — và luật này được đặt tên theo ông, dù ông không phải người tìm ra đầu tiên.
Nguyên lý: với nhiều bộ số liệu tăng theo cấp số nhân hoặc trải dài nhiều bậc độ lớn, xác suất chữ số đầu là d xấp xỉ log₁₀(1 + 1/d) — chữ số 1 chiếm khoảng 30%, chữ số 9 chỉ khoảng 4.6%.
Bài học: quy luật này hiện được kiểm toán viên và cơ quan thuế dùng thật để phát hiện số liệu tài chính bị nguỵ tạo — số liệu bịa ra bởi con người thường có chữ số đầu phân bố đều (vì con người có xu hướng chọn số "ngẫu nhiên" một cách thiên vị), khác hẳn quy luật Benford của số liệu thật.
Tam giác Pascal — Máy khám phá tự do
Mỗi số trong tam giác này bằng tổng 2 số ngay phía trên nó. Chọn 1 luật tô màu bên dưới, đổi số hàng, rồi tự quan sát hoạ tiết hiện ra — không có đáp án đúng/sai ở đây, chỉ có khám phá.
- Tô theo "chia hết cho 2": hiện ra hoạ tiết y hệt tam giác Sierpinski — 1 hình fractal (tự đồng dạng) nổi tiếng, cũng gặp lại ở bài Bông tuyết Koch.
- Tổng mỗi hàng luôn đúng bằng 2 luỹ thừa đúng số thứ tự hàng đó (hàng 0: tổng=1=2⁰; hàng 5: tổng=32=2⁵...).
- Đường chéo thứ 3 (1, 3, 6, 10, 15...) chính là dãy "số tam giác" — số chấm xếp được thành hình tam giác đều.
- Cộng theo đường chéo "nông" (đường chéo thoải, không phải chéo dốc theo cạnh) cho ra đúng dãy Fibonacci.
Dù mang tên Blaise Pascal (hệ thống hoá năm 1654), tam giác này được biết tới từ rất lâu trước đó. Nhà toán học Trung Quốc Giả Hiến mô tả nó vào giữa thế kỷ 11 — khoảng 6 thế kỷ trước Pascal. Dương Huy phổ biến rộng rãi hơn ở thế kỷ 13 (nên tại Trung Quốc thường gọi là "tam giác Dương Huy"), còn Chu Thế Kiệt in lại đầy đủ trong sách năm 1303, gọi đó là "phương pháp cổ". Ở Ba Tư, Al-Karaji và Omar Khayyam cũng nghiên cứu các hệ số này từ thế kỷ 10-11. Pascal không phải người đầu tiên tìm ra — ông là người hệ thống hoá và phổ biến nó rộng rãi ở châu Âu.
Conway's Game of Life — Trật tự tự sinh từ 3 luật đơn giản
Đây là 1 "vũ trụ" đơn giản: mỗi ô chỉ có 2 trạng thái (sống/chết), và tương lai của cả lưới hoàn toàn được quyết định bởi đúng 3 luật, không có yếu tố ngẫu nhiên nào. Tự bấm chọn ô sống, rồi bấm chạy xem thế hệ tiếp theo tự hiện ra.
Luật: ô sống có 2 hoặc 3 láng giềng sống thì tiếp tục sống (ít quá thì cô đơn, nhiều quá thì quá tải); ô chết có đúng 3 láng giềng sống thì hồi sinh.
- Glider: 1 hình 5 ô cứ sau 4 thế hệ lại lặp lại đúng hình dạng ban đầu, nhưng dịch chuyển đi 1 ô theo đường chéo — cứ thế "bò" mãi qua lưới không bao giờ dừng.
- Still life (vật thể tĩnh): vài hình (như khối vuông 2×2 "Block") đứng yên vĩnh viễn — mọi ô đều có đúng 2-3 láng giềng sống, không đổi qua các thế hệ.
- Oscillator (bộ dao động): 1 số hình lặp lại đúng hình dạng ban đầu sau vài thế hệ cố định (như "Blinker" lặp sau đúng 2 thế hệ), dao động qua lại mãi mãi.
Trò chơi này do nhà toán học người Anh John Conway nghĩ ra, được giới thiệu lần đầu qua chuyên mục "Mathematical Games" của Martin Gardner trên tạp chí Scientific American, số tháng 10/1970. Dù luật chơi cực kỳ đơn giản, "vũ trụ" này đã được chứng minh là Turing complete — về lý thuyết có thể dựng được cả 1 chiếc máy tính hoàn chỉnh chỉ từ những ô sống/chết tuân theo đúng 3 luật này.
Dải Möbius — Hình chỉ có đúng 1 mặt
Mọi tờ giấy con từng cầm đều có 2 mặt: mặt trước và mặt sau, tô 2 màu khác nhau là xong. Nhưng có 1 cách dán đơn giản tạo ra 1 dải giấy chỉ có đúng 1 mặt duy nhất. Nếu con bắt đầu tô màu từ 1 điểm bất kỳ, cứ tô mãi không nhấc bút, cuối cùng sẽ tô kín toàn bộ dải giấy, kể cả phần mà lúc đầu con nghĩ là "mặt sau".
Con cần chuẩn bị: 1 dải giấy dài (cắt từ tờ A4, khoảng 3cm × 30cm), kéo, băng dính/hồ dán. Đây là bài nên tự tay làm thật, không chỉ nhìn màn hình.
Bước 2: Dùng bút tô 1 đường dọc theo giữa dải giấy, không nhấc bút, cứ đi theo mãi.
Bước 3: Quan sát — bút có quay lại đúng điểm xuất phát mà không cần "nhảy" sang mặt kia không?
Nếu con cắt dải Möbius theo đúng đường đã tô ở giữa (dọc theo suốt chiều dài), con nghĩ sẽ được kết quả gì?
Kết quả khi cắt phụ thuộc vào số nửa vòng xoắn trước khi dán. Bấm từng dòng để xem kết quả thật (đã kiểm chứng bằng hình học):
Hình này được khám phá độc lập bởi 2 nhà toán học Đức cùng năm 1858: August Ferdinand Möbius VÀ Johann Benedict Listing — Listing thực ra công bố trước, nhưng ít được biết tới hơn, nên tên gọi phổ biến ngày nay chỉ nhắc tới Möbius. Dải Möbius không chỉ là trò vui hình học — biểu tượng tái chế ♻️ ba mũi tên cũng lấy cảm hứng từ hình dạng này, tượng trưng cho 1 chu trình không có "điểm bắt đầu/kết thúc" rõ ràng.
Nguyên lý: xoắn số LẺ nửa vòng (1, 3, 5...) trước khi dán → tạo ra bề mặt chỉ có 1 mặt và 1 cạnh duy nhất (không phân biệt được trong/ngoài). Xoắn số chẵn nửa vòng (0, 2, 4...) → vẫn là bề mặt 2 mặt bình thường như dải giấy dán thẳng.
Bài học: đây là ví dụ nhập môn của ngành tô-pô học — nhánh toán học nghiên cứu những tính chất của hình không đổi khi kéo dãn/uốn cong (nhưng không cắt/dán thêm). "Số mặt" của 1 bề mặt là 1 tính chất tô-pô — không phụ thuộc hình to hay nhỏ, cong queo ra sao, chỉ phụ thuộc cách nó được nối lại.
Công thức Euler — Vì sao chỉ có đúng 5 khối đa diện đều
Với bất kỳ khối đa diện lồi nào (không lõm vào, không có lỗ thủng), dù là kim tự tháp, lập phương, hay hình phức tạp hơn, luôn có 1 công thức kỳ diệu liên hệ số Đỉnh, Cạnh, Mặt của nó, không bao giờ sai.
Chọn 1 khối quen thuộc (tốt nhất nếu con có vật thật ở nhà — hộp quà hình lập phương, kim tự tháp giấy...), tự đếm rồi nhập số vào 3 ô bên dưới:
"Đa diện đều" là khối mà mọi mặt đều là 1 đa giác đều giống hệt nhau, và tại mỗi đỉnh số mặt gặp nhau đều bằng nhau. Lý luận đơn giản: tại 1 đỉnh, tổng các góc mặt gặp nhau phải nhỏ hơn 360° (nếu đúng bằng hoặc hơn, bề mặt sẽ phẳng ra hoặc gấp ngược lại, không tạo được góc lồi). Thử với tam giác đều (góc 60°): gặp nhau 3, 4, hoặc 5 tam giác tại 1 đỉnh đều hợp lệ (180°, 240°, 300° — đều dưới 360°), nhưng 6 tam giác thì đúng 360° — không tạo được đỉnh lồi nữa. Làm tương tự với hình vuông (góc 90°, chỉ 3 hình vuông/đỉnh là hợp lệ) và ngũ giác đều (góc 108°, chỉ 3 ngũ giác/đỉnh hợp lệ) — lục giác đều (120°) trở lên thì không còn khối nào khả thi (3×120°=360°, đã chạm trần). Đếm hết các khả năng: đúng 5 khối — Tứ diện, Lập phương, Bát diện, Thập nhị diện, Nhị thập diện.
Nguyên lý: với mọi khối đa diện lồi: Đỉnh − Cạnh + Mặt = 2, luôn luôn đúng, không phụ thuộc hình dạng hay kích thước cụ thể.
Bài học: đây là 1 "đại lượng bất biến" — giống bài Bàn cờ khuyết góc đã học (số ô 2 màu lệch nhau luôn là 1 đại lượng không đổi dù xếp domino kiểu gì) — chỉ khác là bất biến này áp dụng cho hình 3 chiều. Chứng minh "chỉ có 5 khối đa diện đều" không cần liệt kê thử từng khối một — chỉ cần lập luận về góc là loại được hết các khả năng khác, một cách chứng minh gọn và chắc chắn hơn hẳn kiểu "thử tất cả".
Bông tuyết Koch — Chu vi vô hạn, diện tích hữu hạn
Có 1 hình mà con có thể vẽ trọn vẹn trong 1 trang giấy (diện tích của nó có giới hạn), nhưng nếu con đi bộ dọc theo viền của nó, quãng đường sẽ dài vô tận, không bao giờ đi hết. Nghe có vẻ vô lý, nhưng đây là sự thật toán học.
Luật vẽ rất đơn giản: bắt đầu từ 1 tam giác đều. Mỗi bước, thay mỗi cạnh bằng 4 cạnh nhỏ hơn — chia cạnh làm 3 phần bằng nhau, thay đoạn giữa bằng 2 cạnh của 1 tam giác nhỏ nhô ra ngoài. Lặp lại mãi.
Đây là 1 trong những "fractal" (hình tự đồng dạng — phóng to 1 phần nhỏ lại giống hệt hình tổng thể) đầu tiên được mô tả chính xác trong lịch sử toán học, do nhà toán học Thuỵ Điển Helge von Koch công bố năm 1904 — rất lâu trước khi khái niệm "fractal" được đặt tên chính thức (bởi Benoit Mandelbrot, thập niên 1970). Đường bờ biển thật ngoài đời cũng có tính chất gần giống vậy: càng đo chi tiết (bằng thước càng nhỏ), chu vi đo được càng dài ra, không hội tụ về 1 số cố định.
Nguyên lý: mỗi bước, chu vi nhân thêm đúng 4/3 lần (thay 1 cạnh bằng 4 cạnh, mỗi cạnh mới dài 1/3 cạnh cũ: 4×(1/3) = 4/3 > 1) — lặp lại vô hạn lần, chu vi tăng không giới hạn. Nhưng diện tích thêm vào mỗi bước lại nhỏ dần rất nhanh (mỗi tam giác mới thêm vào nhỏ hơn hẳn), nên tổng diện tích hội tụ về đúng 8/5 lần diện tích tam giác ban đầu — không bao giờ vượt qua.
Bài học: đây là ví dụ trực quan nhất trong cả dự án về ý tưởng "tổng vô hạn có thể hội tụ về 1 giá trị hữu hạn" — cùng ý tưởng đã gặp ở bài Tìm quy luật (khi dự đoán dựa trên vài số hạng đầu có thể sai), nhưng ở đây đi xa hơn: không phải mọi đại lượng của 1 quá trình vô hạn đều tăng theo cùng cách — chu vi và diện tích của cùng 1 hình có thể có 2 "số phận" hoàn toàn khác nhau.
Vòng tròn lượng giác — Định nghĩa sin/cos không cần tam giác
Con đã học sin, cos qua tam giác vuông: sin θ = cạnh đối ÷ cạnh huyền, cos θ = cạnh kề ÷ cạnh huyền. Cách này đúng, nhưng chỉ dùng được khi θ là góc nhọn trong tam giác vuông (0° đến 90°) — vì 1 tam giác vuông đã có sẵn góc 90°, nên 2 góc còn lại cộng lại đúng 90°, không góc nào trong đó có thể đạt tới 90° hay lớn hơn. Không có tam giác vuông nào chứa được góc 150° hay 270° — định nghĩa cũ đơn giản là "hết chỗ dùng".
Nhưng nếu đặt tam giác đó vào bên trong 1 vòng tròn bán kính đúng bằng 1 (cạnh huyền = bán kính = 1), thì sin θ = cạnh đối ÷ 1 = toạ độ y của điểm; cos θ = cạnh kề ÷ 1 = toạ độ x của điểm. Với góc nhỏ, đây chính là tam giác cũ — không có gì đổi. Nhưng giờ, thay vì nói "cạnh đối/cạnh kề", ta chỉ cần nói "toạ độ 1 điểm trên vòng tròn" — và toạ độ 1 điểm thì luôn xác định được, dù góc bao nhiêu, kể cả góc âm hay lớn hơn 360°. Đây là lý do vòng tròn đơn vị mới là gốc rễ thật sự của sin/cos — định nghĩa tam giác vuông chỉ là 1 trường hợp riêng khi góc còn nhỏ.
Kéo trực tiếp chấm đỏ trên vòng tròn, hoặc kéo thanh trượt bên dưới — cả 2 cách đều cho cùng 1 kết quả.
360° là con số lịch sử, không "tự nhiên" về mặt toán học (bắt nguồn gần đúng từ số ngày trong 1 năm theo lịch Babylon cổ). Toán học có 1 đơn vị đo góc "tự nhiên" hơn hẳn — 1 radian là góc mà độ dài cung tròn chắn bởi nó đúng bằng độ dài bán kính. Kéo trực tiếp đầu cung màu đỏ, hoặc dùng thanh trượt bên dưới — mỗi khi cung tròn dài thêm đúng 1 lần bán kính, cung sẽ nháy xanh rồi trở lại đỏ, để con dễ nhận ra các mốc số nguyên:
Chữ "sin" không hề mang ý nghĩa hình học gì cả — nó là hậu quả của 1 chuỗi dịch sai kéo dài nhiều thế kỷ. Người Ấn Độ cổ gọi đại lượng này là "jīvā" (dây cung). Khi dịch sang tiếng Ả Rập, "jīvā" được phiên âm thành "jība" — 1 từ vô nghĩa trong tiếng Ả Rập (vì chữ Ả Rập cổ không viết nguyên âm ngắn). Người đọc sau này nhầm "jība" thành 1 từ Ả Rập có thật là "jaib" (nghĩa là túi áo/vịnh biển). Năm 1145, khi dịch sang tiếng Latin, Robert of Chester dịch "jaib" thành "sinus" (nghĩa là vịnh/nếp gấp trong tiếng Latin) — và "sinus" rút gọn thành "sin" ngày nay. Một từ toán học quen thuộc, hoá ra bắt nguồn từ 1 lỗi dịch thuật nối tiếp lỗi dịch thuật.
Nguyên lý: trên vòng tròn bán kính 1, với góc θ đo từ trục hoành (ngược chiều kim đồng hồ), toạ độ điểm là (cos θ, sin θ) — định nghĩa này đúng cho mọi góc, kể cả góc âm hoặc lớn hơn 360°.
Bài học: đây là 1 ví dụ về cách toán học hay "tổng quát hoá" — giữ nguyên 1 định nghĩa cũ đúng trong trường hợp hẹp, rồi diễn đạt lại để nó đúng luôn cả trong trường hợp rộng hơn, thay vì phát minh 1 định nghĩa hoàn toàn mới không liên quan.
Sóng hình sin — Từ chuyển động tròn tới sóng âm
Con vừa học sin là toạ độ y của 1 điểm quay quanh vòng tròn. Nếu "trải phẳng" chuyển động đó ra theo thời gian, tức thay vì nhìn điểm quay tròn thì nhìn độ cao của nó thay đổi ra sao, sẽ hiện ra đúng hình dạng sóng quen thuộc trong âm nhạc, sóng biển, dòng điện xoay chiều.
Đây không chỉ là hình vẽ minh hoạ — đây chính là dạng sóng thật mà loa phát ra khi tạo ra 1 nốt nhạc "thuần" (âm thoa, sóng sin tinh khiết). Điện xoay chiều trong nhà con dùng hàng ngày cũng dao động đúng theo dạng sóng sin này, khoảng 50-60 lần mỗi giây tuỳ quốc gia.
Nguyên lý: nếu 1 điểm quay đều quanh vòng tròn với vận tốc góc không đổi, độ cao (giá trị sin) của nó theo thời gian vẽ ra đúng 1 đường sóng hình sin tuần hoàn.
Bài học: chuyển động tròn (quay quanh 1 tâm) và chuyển động sóng (lên xuống tuần hoàn) tưởng chừng là 2 hiện tượng khác hẳn nhau — thực ra chỉ là 2 cách nhìn của cùng 1 hiện tượng, tuỳ con nhìn từ góc độ nào (nhìn thẳng vào vòng tròn, hay nhìn độ cao thay đổi theo thời gian).
Archimedes — Cơ sở của tích phân, gần 1900 năm trước Newton
Newton và Leibniz thường được nhắc tới là người "phát minh" ra tích phân (thế kỷ 17). Nhưng gần 1900 năm trước đó, nhà toán học Hy Lạp Archimedes (~250 TCN) đã tính được chính xác diện tích 1 hình cong, bằng đúng ý tưởng cốt lõi của tích phân: cộng dồn vô hạn mảnh nhỏ.
Archimedes muốn tính diện tích 1 miếng hình cắt ra từ parabol. Cách làm: nhét 1 tam giác lớn nhất có thể vào trong, rồi nhét tiếp 2 tam giác nhỏ hơn vào 2 khoảng trống còn lại, rồi lại nhét tiếp 4 tam giác nhỏ hơn nữa... Mỗi lớp mới có tổng diện tích đúng bằng 1/4 lớp trước.
Đáy tam giác luôn cố định (nối 2 đầu mút của miếng hình). Kéo thanh trượt để thử các đỉnh KHÁC nhau trên cung — xem diện tích thay đổi ra sao, tự tìm xem đỉnh nào cho diện tích lớn nhất:
Nhìn kỹ 1 tam giác "cha" (đã nhét ở lớp trước) và 2 tam giác "con" vừa nhét thêm vào đúng 2 khoảng trống của nó — diện tích mỗi tam giác con luôn bằng đúng 1/8 tam giác cha, dù ở bất kỳ lớp nào:
Phương pháp này gọi là "phương pháp vét cạn" (method of exhaustion). Archimedes chứng minh được tổng diện tích tất cả các tam giác, cộng dồn mãi mãi, tiến tới đúng 4/3 lần diện tích tam giác lớn nhất. Đây không phải kết quả "gần đúng", mà là 1 kết quả chính xác, chứng minh chặt chẽ bằng lập luận (không có máy tính, không có ký hiệu đại số hiện đại).
Nguyên lý: A + A/4 + A/16 + A/64 + ... (cộng mãi mãi) = 4/3 · A — 1 tổng có vô hạn số hạng nhưng vẫn hội tụ về 1 giá trị hữu hạn, chính xác.
Bài học: Đây là lần thứ 3 dự án gặp cùng 1 ý tưởng lớn: chia nhỏ mãi rồi cộng dồn, tiến tới 1 giới hạn hữu hạn. Ý tưởng này từng xuất hiện ở bài Lãi kép chia nhỏ và Chọn quả táo ngon nhất (số e), rồi ở Bông tuyết Koch (diện tích hội tụ 8/5), và nay ở chính bài toán khởi nguồn của tích phân. Sự lặp lại này cho thấy đây là 1 trong những ý tưởng nền tảng nhất của toán học cao cấp.
Song đề tù nhân — Khi ích kỷ có lý, nhưng ai cũng thiệt
Đây là 1 trong những bài toán được nghiên cứu nhiều nhất trong lý thuyết trò chơi, vì đúng 1 cấu trúc này lặp lại ở rất nhiều tình huống thật: 2 công ty cùng ngành có thể giữ giá cao (cả 2 cùng có lợi), nhưng mỗi bên đều có động lực hạ giá để giành khách — nếu cả 2 cùng hạ giá, cả 2 đều thiệt hơn lúc đầu (chiến tranh giá). Các nước có thể cùng cam kết giảm khí thải (cùng có lợi lâu dài), nhưng mỗi nước lại muốn nước khác giảm trước còn mình cứ phát triển — nếu ai cũng nghĩ vậy, không ai giảm cả. Hiểu đúng cấu trúc này giúp nhận ra: nhiều xung đột trong kinh doanh, ngoại giao, thậm chí giữa bạn bè, không hẳn vì ai đó "xấu tính" — mà vì cách tính điểm/lợi ích khiến lựa chọn ích kỷ trở nên hợp lý cho TỪNG người, dù kết quả chung lại tệ hơn.
Đây là 1 nhánh KHÁC của "lý thuyết trò chơi" so với bài Bốc que thắng chắc hay Cờ Caro — ở đó 2 người thay phiên nhau, luôn thấy hết nước đi của đối phương. Ở đây, 2 người chọn CÙNG LÚC, không ai biết trước đối phương chọn gì.
Luật chơi: mỗi người chọn Hợp tác hoặc Phản bội. Điểm nhận được phụ thuộc vào CẢ 2 lựa chọn, theo đúng bảng sau:
| Đối phương: Hợp tác | Đối phương: Phản bội | |
|---|---|---|
| Bạn: Hợp tác | Bạn 3 — Đối phương 3 | Bạn 0 — Đối phương 5 |
| Bạn: Phản bội | Bạn 5 — Đối phương 0 | Bạn 1 — Đối phương 1 |
Nếu đối phương chọn Hợp tác, bạn nên chọn gì để được nhiều điểm hơn?
Nếu đối phương chọn Phản bội, bạn nên chọn gì để được nhiều điểm hơn?
Đối phương lần này CÓ THỂ nhớ ván trước. Chọn 1 đối thủ, tự chơi vài ván xem chiến lược nào của con cho điểm cao nhất với từng đối thủ. Lưu ý: "Luôn hợp tác", "Luôn phản bội", "Tit-for-Tat" đều là chiến lược cố định (đối thủ luôn hành xử y hệt theo đúng 1 quy tắc, không có gì ngẫu nhiên) — chỉ riêng "Ngẫu nhiên" mới thật sự đổi khác mỗi ván.
Thay phiên nhìn màn hình, mỗi lần chỉ 1 người thấy lựa chọn của mình.
Không cần tự bấm nước đi nữa — chọn 1 chiến lược làm Bot 1, 1 chiến lược làm Bot 2 (có thể chọn trùng nhau), rồi bấm "Chạy đấu" để xem 2 bot tự chơi nhiều ván liên tiếp và so điểm — đúng kiểu giải đấu vòng tròn mà Axelrod tổ chức năm 1980 (kể ở phần "Bạn có biết?" bên dưới), chỉ khác là ở đây con tự chọn đúng 2 đối thủ để xem.
Chiến lược cho Bot 1:
Chiến lược cho Bot 2:
Năm 1980, giáo sư Robert Axelrod (Đại học Michigan) mời 14 nhà khoa học gửi chương trình máy tính, tổ chức 1 giải đấu vòng tròn thật. Người thắng là Tit-for-Tat ("ăn miếng trả miếng": hợp tác trước, sau đó lặp lại đúng nước đi gần nhất của đối phương) — do nhà toán học Anatol Rapoport gửi, đơn giản nhất trong tất cả 14 chiến lược tham gia. Axelrod nhận ra 4 đặc điểm chung của các chiến lược mạnh: "tử tế" (không phản bội trước), biết trả đũa, biết tha thứ, dễ đoán. Một số nghiên cứu sau này (như bài trên PLOS ONE năm 2015) chỉ ra kết quả này phụ thuộc khá nhiều vào chính xác những chiến lược nào tham gia giải — không phải "luôn luôn đúng" trong mọi trường hợp, đúng như con vừa tự thấy khi thử với chỉ 4 đối thủ ở trên.
Nguyên lý: trong 1 ván đơn, chọn vì lợi ích riêng (chiến lược áp đảo) có thể khiến cả hai cùng thiệt hơn so với nếu hợp tác — đây là bản chất "song đề" của trò chơi.
Bài học: khi trò chơi lặp lại nhiều lần, hợp tác có thể trở nên có lợi hơn — vì mỗi người còn cơ hội trả đũa hoặc làm lành ở ván sau. Nhưng không có 1 chiến lược nào luôn thắng tuyệt đối trong mọi tình huống — kết quả phụ thuộc rất nhiều vào đối thủ đang gặp, đúng như con vừa tự trải nghiệm.
Cuộc săn hươu — Khi phối hợp quan trọng hơn cả tin tưởng
2 thợ săn cùng đi săn, mỗi người chọn Săn hươu (cần CẢ 2 cùng chọn mới thành công, thưởng lớn) hoặc Săn thỏ (một mình vẫn chắc chắn bắt được, thưởng nhỏ hơn).
| Đối phương: Săn hươu | Đối phương: Săn thỏ | |
|---|---|---|
| Bạn: Săn hươu | Bạn 4 — Đối phương 4 | Bạn 0 — Đối phương 2 |
| Bạn: Săn thỏ | Bạn 2 — Đối phương 0 | Bạn 2 — Đối phương 2 |
Khác Song đề tù nhân (chỉ 1 kết cục ổn định), trò này có 2 kết cục đều ổn định: cùng săn hươu (tốt hơn, nhưng rủi ro nếu không tin đối phương), HOẶC cùng săn thỏ (an toàn hơn nhưng kém hơn).
Nếu bạn TIN CHẮC đối phương sẽ săn hươu, bạn nên chọn gì để được nhiều điểm nhất?
Nếu bạn KHÔNG chắc đối phương chọn gì (sợ họ chọn săn thỏ), phương án nào AN TOÀN hơn (luôn được ít nhất 2 điểm)?
Chọn 1 đối tác máy, thử xem cách phối hợp với từng loại đối tác:
Có thể bật thử "nhắn 1 câu trước khi chọn" — xem việc trao đổi trước có giúp phối hợp tốt hơn không:
Không cần tự bấm nước đi nữa — chọn 1 chiến lược làm Bot 1, 1 chiến lược làm Bot 2 (có thể chọn trùng nhau), rồi bấm "Chạy đấu" để xem 2 bot tự chơi nhiều ván liên tiếp và so điểm — xem thử 2 kiểu "thợ săn máy" có tự phối hợp được với nhau không.
Chiến lược cho Bot 1:
Chiến lược cho Bot 2:
Triết gia Jean-Jacques Rousseau mô tả tình huống này lần đầu trong tác phẩm Discourse on Inequality năm 1755 — rất lâu trước khi "lý thuyết trò chơi" ra đời như 1 ngành toán học chính thức vào thế kỷ 20. Ý tưởng này có gốc triết học, không chỉ toán học thuần tuý.
Nguyên lý: Stag Hunt có đúng 2 điểm cân bằng ổn định (cùng săn hươu, cùng săn thỏ) — không ai muốn đổi chiến lược 1 mình ở cả 2 điểm này, khác hẳn Song đề tù nhân (chỉ 1 điểm ổn định).
Bài học: nhiều tình huống hợp tác thật ngoài đời (làm việc nhóm, đầu tư chung...) giống Stag Hunt hơn là Song đề tù nhân. Vấn đề ở đây không phải "có nên ích kỷ", mà là "làm sao đủ tin nhau để cùng chọn phương án tốt hơn". Giao tiếp trước (như tuỳ chọn nhắn tin ở trên) thường giúp phối hợp tốt hơn hẳn, đúng như 1 phát hiện thật trong nghiên cứu lý thuyết trò chơi.
Tương quan không phải là nhân quả
Tương quan là khi 2 đại lượng có xu hướng cùng thay đổi theo 1 quy luật (cùng tăng, cùng giảm, hoặc ngược chiều nhau). Nhân quả là khi sự thay đổi của 1 đại lượng thực sự làm đại lượng kia thay đổi. Tương quan có thể tồn tại mà không có nhân quả — đây là nhầm lẫn thường gặp khi đọc số liệu, quảng cáo hay tin khoa học.
Ví dụ kinh điển trong giáo trình thống kê: theo từng tháng trong năm, doanh số kem và số vụ đuối nước tăng giảm gần giống nhau.
Theo con, ăn kem có làm tăng nguy cơ chết đuối không?
Với 2 dãy số x, y: lấy từng giá trị trừ đi trung bình của dãy đó, nhân 2 độ lệch (của x và y) ở cùng 1 cặp lại với nhau, cộng dồn qua mọi cặp, rồi chia cho 1 đại lượng chuẩn hoá theo độ lệch của cả 2 dãy:
r = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) / [√Σ(xᵢ−x̄)² · √Σ(yᵢ−ȳ)²]
Kết quả luôn nằm trong khoảng từ −1 đến 1. r gần 1: 2 đại lượng cùng tăng cùng giảm rất đều (tương quan thuận mạnh). r gần −1: 1 tăng thì cái kia giảm rất đều (tương quan nghịch mạnh). r gần 0: không có xu hướng tuyến tính rõ ràng. r chỉ đo độ mạnh/yếu và chiều của tương quan, không nói lên nguyên nhân.
Bảng dưới là 10 cặp dữ liệu (số giờ tự học/tuần & điểm kiểm tra). Sửa thử vài giá trị x hoặc y để xem r thay đổi ngay theo thời gian thực.
- A. X gây ra Y — nhân quả thật, đúng chiều trực giác ban đầu.
- B. Y gây ra X — nhân quả thật nhưng ngược chiều trực giác ban đầu. Ví dụ minh hoạ (không phải 1 nghiên cứu cụ thể): "học sinh mang nhiều sách vở hơn thì điểm thi cao hơn" — có thể vì bạn chăm học hơn (nên điểm cao) mới mang nhiều sách hơn để ôn tập, không phải sách làm điểm cao hơn.
- C. 1 nguyên nhân thứ 3 gây ra cả hai — "biến gây nhiễu" (confounder). Case kem/đuối nước thuộc loại này: mùa hè khiến cả doanh số kem lẫn số vụ đuối nước cùng tăng.
- D. Trùng hợp ngẫu nhiên — dễ xảy ra khi so sánh rất nhiều cặp dữ liệu cùng lúc bằng máy tính ("data dredging").
Mỗi case dưới đây là 1 sự kiện/nghiên cứu có thật. Chọn 1 trong 4 khả năng (A/B/C/D) ở trên cho từng case, rồi xem đáp án.
2 case sau không khớp gọn vào khung A/B/C/D — mỗi case là 1 lần khoa học/y tế thật sự đã nhầm hoặc dựa vào tương quan sai, và cách sai lầm đó được phát hiện/sửa lại.
Vắc-xin MMR & tự kỷ (1998): bác sĩ Andrew Wakefield và 12 đồng tác giả công bố trên tạp chí The Lancet 1 nghiên cứu trên 12 trẻ, cho rằng vắc-xin MMR (sởi - quai bị - rubella) liên quan tới tự kỷ.
Theo con, đây có phải 1 trường hợp "hiểu sai 1 tương quan có thật" giống các case ở trên không?
Loét dạ dày & vi khuẩn H. pylori (1982-2005): trước 1982, y học cho rằng nguyên nhân chính gây loét dạ dày là căng thẳng và chế độ ăn — dựa trên tương quan quan sát được giữa stress và triệu chứng, chưa có bằng chứng thực nghiệm. Năm 1982, bác sĩ Barry Marshall và Robin Warren (Úc) phát hiện vi khuẩn Helicobacter pylori trong dạ dày phần lớn bệnh nhân viêm loét. Vì giới y khoa cho rằng không vi khuẩn nào sống được trong môi trường axit của dạ dày, năm 1984 Marshall tự uống 1 mẫu vi khuẩn này — mắc viêm dạ dày thật, sau đó khỏi bằng kháng sinh, chứng minh trực tiếp vi khuẩn là nguyên nhân. Hai ông nhận Giải Nobel Sinh lý học/Y học năm 2005.
4 tiêu chí rút gọn từ 9 tiêu chí của Austin Bradford Hill (1965), minh hoạ bằng case thuốc lá/ung thư phổi:
- Độ mạnh: tương quan càng mạnh càng đáng ngờ là thật.
- Tính nhất quán: nhiều nghiên cứu độc lập, ở nhiều nơi, ra cùng kết quả.
- Đúng thứ tự thời gian: nguyên nhân xảy ra trước kết quả.
- Bằng chứng can thiệp: thử nghiệm ngẫu nhiên có đối chứng (RCT) là bằng chứng mạnh nhất — thí nghiệm tự thân của Marshall ở trên cũng là 1 dạng bằng chứng can thiệp.
Nguyên lý: tương quan không xác định nhân quả — luôn có ít nhất 4 khả năng (A/B/C/D), và cần thêm bằng chứng (thời gian, cơ chế, thí nghiệm can thiệp) mới kết luận được khả năng nào đúng.
Bài học: khi thấy "X liên quan tới Y", cân nhắc: có nguyên nhân thứ 3 nào gây ra cả 2 không? Chiều nhân quả có bị đảo ngược không? Có phải chỉ là trùng hợp không?
Tìm quy luật — Quy nạp là gì? (Inductive reasoning)
Nhìn vài ví dụ rồi tự rút ra quy luật chung là cách con người học hỏi từ kinh nghiệm mỗi ngày: dự báo thời tiết, chẩn đoán y khoa, mọi thí nghiệm khoa học đều dựa vào quy nạp. Nhưng đúng nhiều lần liên tiếp không có nghĩa là quy luật đó đúng mãi mãi, và bài này giúp con hiểu rõ điều đó.
Chọn số đầu tiên và bước nhảy để tạo 1 dãy số — dự đoán số thứ 5 trước khi xem quy luật thật đằng sau.
Hàng thế kỷ, người châu Âu chỉ từng thấy thiên nga màu trắng, nên tin chắc "mọi thiên nga đều trắng" — kết luận có vẻ chắc chắn sau hàng triệu lần quan sát đúng. Năm 1697, nhà thám hiểm người Hà Lan Willem de Vlamingh phát hiện ra thiên nga đen ở Úc — lật đổ ngay lập tức 1 "sự thật" tưởng chừng không thể sai. Triết gia người Scotland David Hume (thế kỷ 18) dùng đúng câu chuyện này để chỉ ra: dù quan sát đúng bao nhiêu lần, quy nạp cũng không bao giờ chắc chắn tuyệt đối — người ta gọi đây là "vấn đề quy nạp" (problem of induction).
Nguyên lý: chỉ với vài số đầu giống nhau, luôn có thể tồn tại nhiều quy luật khác nhau cùng khớp — không có cách nào để biết chắc quy luật nào mới là "quy luật thật" chỉ từ các ví dụ đã thấy.
Bài học: quy nạp vẫn rất hữu ích (khoa học không thể thiếu nó) — nhưng cần luôn sẵn sàng cập nhật kết luận khi có thêm bằng chứng mới, thay vì tin tuyệt đối chỉ vì đã đúng nhiều lần.
Nếu... thì... — Nhập môn suy luận diễn dịch (Deductive reasoning)
Câu "Nếu A thì B" xuất hiện khắp nơi trong đời sống, nhưng rất nhiều người hay suy luận ngược (biết B, kết luận chắc chắn có A) mà không nhận ra đó là 1 bước nhảy không có cơ sở. Nhận diện đúng kiểu suy luận nào chắc chắn, kiểu nào không, giúp đọc quảng cáo, tin tức, tranh luận tỉnh táo hơn.
Nhà triết học Hy Lạp Aristotle là người đầu tiên hệ thống hoá kiểu suy luận "Nếu... thì..." thành 1 môn học chính thức, trong tác phẩm Prior Analytics (khoảng 350 năm TCN) — gọi là "phép tam đoạn luận" (syllogism). Đây được coi là nhánh logic hình thức đầu tiên trong lịch sử loài người, và vẫn được dạy gần như nguyên vẹn suốt hơn 2300 năm sau.
Nguyên lý: "Nếu A thì B" chỉ đảm bảo chiều A→B. Biết A đúng, chắc chắn suy ra B đúng. Nhưng biết B đúng, không được suy ngược ra A đúng — trừ khi biết chắc B chỉ có thể xảy ra vì A (không có nguyên nhân nào khác).
Bài học: đây là lỗi suy luận cực kỳ phổ biến — gặp lại đúng mẫu hình này ở cả 3 ví dụ trên dù bối cảnh khác hẳn nhau (thời tiết, số học, động vật). Nhận ra được đúng "khuôn mẫu" của lỗi này giúp phát hiện nó ở bất kỳ đâu, không chỉ trong 3 ví dụ vừa học.
Chuồng bồ câu — Nguyên lý Dirichlet (Pigeonhole Principle)
Có những điều ta có thể chứng minh chắc chắn đúng mà không cần thử hết mọi cách, chỉ cần đếm số lượng. Đây là 1 trong những công cụ đơn giản nhưng mạnh nhất của toán học, dùng để chứng minh chắc chắn 1 điều phải xảy ra, dù không biết trước nó xảy ra ở đâu.
Có nhiều con bồ câu hơn số chuồng — dù nhốt kiểu gì, luôn chắc chắn có ít nhất 1 chuồng chứa từ 2 con trở lên. Nghe hiển nhiên, nhưng đây chính là chìa khoá giải được rất nhiều bài toán khó. Chọn số chuồng và số bồ câu, rồi tự tay thử xếp sao cho mỗi chuồng tối đa 1 con.
Với 4 chuồng và 5 bồ câu, xếp kiểu gì cũng luôn có ít nhất 1 chuồng chứa từ 2 con trở lên?
Bấm vào 1 chuồng để thả 1 bồ câu vào đó. Thử xếp sao cho mỗi chuồng chỉ có tối đa 1 con.
Còn lại: 5 con bồ câu chưa xếp.
Nguyên lý này được nhà toán học người Đức Peter Gustav Lejeune Dirichlet phát biểu chính thức năm 1834, ông gọi nó là "Schubfachprinzip" (nguyên lý ngăn kéo) — cha ông làm trưởng bưu điện, nên hình ảnh "ô nhét thư" (về sau dịch quen thành "chuồng bồ câu") có thể xuất phát từ chính công việc gia đình ông. Ứng dụng kinh điển: trong 1 lớp 32 học sinh, chắc chắn có ít nhất 3 bạn sinh cùng tháng — vì 32 học sinh (bồ câu) mà chỉ có 12 tháng (chuồng), 32 > 2×12 nên phải có chuồng chứa từ 3 "con" trở lên.
Nhiều người đọc xong nguyên lý bên trên vẫn thấy "hiển nhiên quá, chẳng để làm gì". Thử bài toán này: chọn bất kỳ 5 điểm nằm trong 1 hình vuông cạnh 2 — chứng minh chắc chắn có 2 điểm nào đó cách nhau không quá √2 ≈ 1,41. Không cần biết trước 5 điểm đặt ở đâu, không có công cụ nào khác ngoài nguyên lý chuồng bồ câu có thể chứng minh chắc chắn 100% điều này.
Tự bấm đặt 5 điểm bất kỳ trong hình vuông bên dưới — cố đặt càng XA nhau càng tốt — rồi xem chuyện gì xảy ra:
Đã đặt: 0/5 điểm.
Vì sao luôn đúng: chia hình vuông cạnh 2 thành 4 hình vuông con cạnh 1 (như lưới đã kẻ) — 4 hình vuông con này chính là "4 chuồng", 5 điểm chính là "5 con bồ câu". Theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất 1 hình vuông con phải chứa từ 2 điểm trở lên. Mà khoảng cách xa nhất có thể giữa 2 điểm trong CÙNG 1 hình vuông cạnh 1 chính là đường chéo của nó — đúng bằng √2. Vậy 2 điểm đó chắc chắn cách nhau không quá √2.
Nguyên lý: nếu số vật nhiều hơn số hộp, chắc chắn có ít nhất 1 hộp chứa từ 2 vật trở lên — không quan trọng xếp theo cách nào.
Bài học: đây là 1 kiểu chứng minh khác hẳn cách "thử từng trường hợp" đã gặp ở bài Hiệp sĩ & Kẻ dối trá — không cần biết chuồng nào sẽ bị trùng, chỉ cần đếm là đủ chắc chắn 100% có 1 chuồng bị trùng.
Bàn cờ khuyết góc — Khi nào chắc chắn không thể? (Invariant proof)
Có những việc dù thử bao nhiêu cách cũng không bao giờ làm được, nhưng làm sao chứng minh chắc chắn không có cách nào, thay vì chỉ nói "tôi thử vài lần không được"? Kỹ thuật tìm ra 1 "đại lượng không đổi" (bất biến) rồi chỉ ra nó mâu thuẫn với mục tiêu là cách làm được điều đó, và được dùng rất nhiều trong khoa học máy tính lẫn toán học.
Bàn cờ vua 8×8 gồm 64 ô, tô xen kẽ 2 màu. Đã cắt bỏ sẵn 2 góc chéo nhau (2 ô cùng màu), còn lại 62 ô. Mỗi quân domino phủ đúng 2 ô liền kề. Con hãy thử xếp domino sao cho phủ kín hết các ô còn trống.
Có thể xếp domino phủ kín hết 62 ô còn lại của bàn cờ đã khuyết 2 góc không?
Bấm chọn 1 ô trống, rồi bấm 1 ô trống liền kề (trên/dưới/trái/phải) để đặt 1 quân domino.
Bài toán "bàn cờ khuyết góc" do triết gia người Mỹ gốc Anh Max Black đặt ra năm 1946, trong cuốn sách Critical Thinking — được phổ biến rộng rãi hơn trong thập niên 1950 qua các nhà toán học Solomon W. Golomb, George Gamow, và mục "Mathematical Games" nổi tiếng của Martin Gardner trên tạp chí Scientific American. Bài toán này còn được dùng làm ví dụ kinh điển để kiểm tra khả năng suy luận sáng tạo trong nghiên cứu khoa học nhận thức.
Có 3 bóng đèn, lúc đầu đúng 1 bóng đang bật. Mỗi lần bấm nút, con được chọn ĐÚNG 2 bóng bất kỳ và đổi trạng thái cả 2 (đang bật thì tắt, đang tắt thì bật). Bấm nút bao nhiêu lần tuỳ ý — có cách nào làm cả 3 bóng cùng tắt không?
Vì sao không bao giờ được: mỗi lần bấm luôn đổi trạng thái ĐÚNG 2 bóng — dù là tắt→bật, bật→tắt, hay 1 tắt 1 bật đổi chỗ nhau, tổng số bóng đang bật luôn thay đổi 1 lượng CHẴN (+2, -2, hoặc giữ nguyên). Vậy tính chẵn/lẻ của tổng số bóng bật không bao giờ đổi. Bắt đầu có 1 bóng bật (số lẻ) — muốn đạt 0 bóng bật (số chẵn) là đổi từ lẻ sang chẵn, điều bất biến trên không cho phép. Đúng cùng kiểu lập luận với bàn cờ khuyết góc ở trên: tìm 1 đại lượng không đổi, rồi chỉ ra nó mâu thuẫn với mục tiêu.
Nguyên lý: mỗi quân domino luôn phủ đúng 1 ô đen + 1 ô trắng (vì 2 ô liền kề luôn khác màu) — nên số ô đen đã phủ luôn bằng số ô trắng đã phủ, ở bất kỳ thời điểm nào. Bàn cờ khuyết 2 góc cùng màu có 32 ô của 1 màu và 30 ô của màu kia — 2 số này không bằng nhau, nên không cách xếp nào phủ kín được cả 62 ô.
Bài học: để chứng minh chắc chắn 1 việc không thể làm được, không cần thử hết mọi cách xếp (có hàng triệu cách!) — chỉ cần tìm ra 1 đại lượng luôn không đổi qua mỗi bước, rồi chỉ ra nó mâu thuẫn với điều muốn đạt được.
Bốc que thắng chắc — Tìm ra chiến lược (Combinatorial game)
Nghĩ trước nhiều bước, không chỉ phản ứng với nước đi hiện tại, là kỹ năng nền tảng của mọi chiến lược, từ chơi cờ, đàm phán, cho tới các thuật toán AI chơi game hiện đại. Trò chơi đơn giản dưới đây giấu 1 công thức thắng chắc chắn 100%: nếu tìm ra được, con sẽ thắng bất kỳ ai không biết công thức đó.
2 người thay nhau bốc que từ 1 chồng chung. Con tự chọn luật chơi bên dưới rồi thử xem công thức thắng thay đổi thế nào — đổi luật là đổi cả công thức, dù cách chơi gần như giống hệt nhau!
Ai bốc được que cuối cùng thì:
Mỗi lượt được bốc tối đa bao nhiêu que?
Với 21 que, nếu cả 2 bên đều chơi đúng chiến lược, người đi trước có thắng được không?
Trò chơi bốc que kiểu này có tên chung là "Nim" — nhà toán học người Mỹ Charles L. Bouton (Đại học Harvard) là người đầu tiên tìm ra công thức toán học đầy đủ cho Nim, công bố năm 1901-1902 trên tạp chí Annals of Mathematics. Bản gốc của ông dùng đúng luật "bốc que cuối thắng" — luật "bốc que cuối thua" (misère) là 1 biến thể phổ biến khác mà chính Bouton cũng phân tích trong cùng bài báo. Bản rút gọn chỉ 1 chồng que như bài này còn được biết tới rộng rãi hơn qua tên gọi dân gian "Trò chơi 21".
Nguyên lý: mọi số que còn lại có thể chia làm 2 loại — "vị trí thua" và "vị trí thắng" — nhưng chính xác số nào là "vị trí thua" phụ thuộc vào luật đã chọn ở mục 1 (xem công thức cụ thể ở phần "Bí quyết" phía trên, tính lại đúng theo lựa chọn hiện tại). Nếu tới lượt con mà đang ở đúng 1 "vị trí thua", dù bốc kiểu gì con cũng phải nhường cho đối thủ 1 "vị trí thắng" — dù con không muốn.
Bài học: cách nghĩ "lùi từ đích" — tìm ra vị trí nào chắc chắn thua, vị trí nào chắc chắn thắng, rồi luôn đẩy đối thủ về đúng vị trí thua — là nền tảng của cả lý thuyết trò chơi lẫn nhiều thuật toán AI chơi cờ hiện đại. Đổi luật chơi (mục 1) sẽ đổi con số "ma thuật" cụ thể, nhưng cách tìm ra nó luôn giống nhau — đó mới là điều đáng nhớ, không phải riêng 1 con số.
Bài toán bữa tiệc — Luôn có 3 người quen nhau hoặc 3 người lạ nhau (Ramsey)
Trong 1 nhóm đủ đông người — dù không biết cụ thể ai quen ai — toán học chứng minh được: luôn tồn tại 1 kiểu quan hệ lặp lại giữa 1 số người trong nhóm.
Trong 1 bữa tiệc 6 người, mỗi cặp 2 người hoặc đã quen nhau, hoặc là người lạ. Tô màu từng cặp — đỏ là quen, xanh là lạ — sao cho không có 3 người nào mà cả 3 cặp giữa họ cùng 1 màu.
Với 6 người, con nghĩ có thể tô màu đủ 15 cặp sao cho không có 3 người nào tạo thành "tam giác 1 màu" không?
Bấm vào 1 đường nối giữa 2 người để tô màu (bấm nhiều lần để đổi màu đỏ ⇄ xanh). Cố tránh tạo tam giác 1 màu — xem con trụ được tới đâu.
Frank Ramsey (nhà toán học Anh) chứng minh định lý tổng quát này năm 1930. Phiên bản "bữa tiệc 6 người" từng là đề thi trên tạp chí American Mathematical Monthly năm 1958. Cách chứng minh dùng lại nguyên lý Chuồng bồ câu: 1 người bất kỳ có 5 mối quan hệ với 5 người còn lại — theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất 3 trong 5 mối quan hệ đó phải cùng màu, từ đó suy ra 1 tam giác 1 màu.
Nguyên lý: với 6 người trở lên, luôn tồn tại 3 người đôi một quen nhau hoặc 3 người đôi một xa lạ — không cách tô nào tránh được. Với 5 người thì không chắc — vẫn có cách tránh được, như con vừa thấy ở chế độ "5 người".
Bài học: con số 6 không ngẫu nhiên — đây là ví dụ nhỏ nhất của "Lý thuyết Ramsey", nhánh toán học nghiên cứu việc 1 cấu trúc đủ lớn luôn phải chứa 1 kiểu trật tự nhất định, dù sắp xếp hỗn loạn tới đâu.
Bài toán Josephus — Tìm vị trí sống sót trong vòng tròn
Đây là phiên bản nâng cấp của bài Bốc que thắng chắc — vẫn đi tìm 1 vị trí an toàn, nhưng lần này mọi người xếp thành vòng tròn và bị loại dần theo 1 quy luật đếm cố định.
Theo giai thoại được truyền lại (sử liệu không xác nhận mọi chi tiết), sử gia La Mã-Do Thái thế kỷ 1 Titus Flavius Josephus từng ở trong 1 nhóm bị bao vây, chọn tự sát tập thể thay vì bị bắt — xếp vòng tròn, đếm tới người thứ k thì người đó phải "ra đi". Ông được cho là đã tính trước vị trí sống sót, và đứng đúng vào đó.
Với 7 người xếp vòng tròn (đánh số 1→7), cứ đếm tới người thứ 3 thì loại — con nghĩ vị trí ban đầu nào sẽ là người sống sót cuối cùng?
Có 1 công thức truy hồi tính thẳng vị trí sống sót mà không cần mô phỏng từng bước: gọi J(n) là vị trí sống sót (đánh số từ 0) khi có n người, đếm tới người thứ k thì loại — J(1) = 0, J(n) = (J(n−1) + k) mod n với n > 1. Lặp công thức này n lần là ra đáp án, nhanh hơn hẳn mô phỏng khi n lớn.
Nguyên lý: vị trí sống sót phụ thuộc cả n (số người) lẫn k (bước đếm) — đổi 1 trong 2 số là đổi hẳn đáp án, không có vị trí nào luôn luôn an toàn.
Bài học: đây là 1 bài toán "lùi từ đích", cùng cách suy nghĩ đã gặp ở Bốc que thắng chắc: đáp án khi có n người được tính dựa vào đáp án đã biết khi có n−1 người, xây dần từ trường hợp nhỏ nhất lên — 1 trong những cách tư duy mạnh nhất của toán học, quy bài toán lớn về bài toán nhỏ hơn đã biết đáp án.
Dãy Collatz — Câu hỏi dễ hiểu nhất mà nhân loại chưa trả lời được
Ai hiểu phép chia 2 và nhân 3 đều nắm được luật chơi này trong 10 giây — nhưng tới nay, chưa ai chứng minh được câu trả lời, dù đã thử hàng tỷ con số. Đây là cơ hội thấy toán học vẫn còn nhiều điều chưa ai biết.
Chọn 1 số bất kỳ: nếu chẵn, chia đôi; nếu lẻ, nhân 3 rồi cộng 1. Lặp lại với số vừa có được. Mọi số đã từng thử đều cuối cùng rơi về chu trình 4 → 2 → 1 — nhưng chưa ai chứng minh được điều này đúng với mọi số, dù cũng chưa ai tìm ra số nào phản lại nó.
Lothar Collatz (nhà toán học Đức) đặt ra bài toán này năm 1937, nên còn gọi là "Phỏng đoán Collatz" — "phỏng đoán" nghĩa là điều được tin là đúng nhưng chưa ai chứng minh được. Paul Erdős từng nói toán học "chưa đủ chín muồi" để giải bài này, và treo thưởng cho ai tìm ra lời giải. Máy tính đã kiểm tra tới hơn 2^68 mà chưa tìm được số nào phản lại quy luật — nhưng "chưa tìm ra phản ví dụ" không phải là "đã chứng minh".
Nguyên lý: số chẵn chia 2, số lẻ nhân 3 cộng 1 — lặp lại tới khi về 1.
Bài học: thử hàng tỷ ví dụ không phải là 1 phép chứng minh trong toán học — chỉ là bằng chứng thực nghiệm mạnh. Cùng bài học đã gặp ở Tìm quy luật (quy nạp), nhưng đây là ví dụ cực đoan nhất: dù bằng chứng nhiều tới đâu, toán học vẫn cần 1 lập luận đúng với mọi trường hợp, không ngoại lệ.
Lũy thừa với số mũ tự nhiên (Powers)
Lũy thừa là cách viết gọn cho phép nhân lặp lại: aⁿ (đọc "a mũ n") nghĩa là nhân a với chính nó đúng n lần. Ví dụ 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 — trong đó 2 gọi là cơ số, 3 gọi là số mũ.
Người xưa cần lũy thừa để tính diện tích (cạnh × cạnh, tức "cạnh bình phương") và thể tích (cạnh × cạnh × cạnh, tức "cạnh lập phương") khi đo đạc ruộng đất và kho chứa — người Babylon cổ đại (khoảng 2100 năm TCN) đã lập sẵn những bảng tính bình phương để giải các bài toán đo đạc như vậy. Ký hiệu lũy thừa gọn như con đang thấy (2³, 2⁴...) xuất hiện muộn hơn nhiều — nhà toán học Pháp Nicolas Chuquet là người đầu tiên dùng số mũ 0 (thế kỷ 15), còn cách viết số mũ nhỏ đặt trên như hiện nay do Descartes phổ biến vào thế kỷ 17.
Chọn cơ số và số mũ, xem giá trị tăng nhanh thế nào qua từng bậc.
Dự đoán giá trị ở bậc tiếp theo trước khi kéo slider.
Nguyên lý: mỗi lần số mũ giảm đi 1, giá trị giảm đi đúng 1 lần cơ số (vì aⁿ = aⁿ⁻¹ × a) — theo đúng quy luật đó, a¹ = a, rồi a⁰ = a¹ ÷ a = 1. Đây là lý do bất kỳ số nào (khác 0) mũ 0 cũng luôn bằng 1, không phải quy ước tuỳ tiện.
Bài học: chỉ cần tăng số mũ thêm 1, giá trị đã nhân lên gấp nhiều lần — đó là lý do lũy thừa tăng "bùng nổ" nhanh hơn hẳn phép cộng hay phép nhân thông thường.
Tỉ số phần trăm (Percentage)
Về mặt toán học, tỉ lệ thông thường (như 11/50 hay 22/100) đã đủ để diễn tả "một phần so với toàn thể" — vậy vì sao vẫn cần thêm phần trăm? Vì các tỉ lệ trong đời sống thường có mẫu số khác nhau (11/50 bài đúng, 18/80 sản phẩm lỗi, 3/25 học sinh vắng...), muốn so sánh chúng với nhau phải quy đồng mẫu số, khá mất công. Phần trăm giải quyết việc đó bằng cách quy mọi tỉ lệ về cùng một mẫu số chuẩn — 100 — nên hai tỉ lệ bất kỳ, dù ban đầu mẫu số khác nhau đến đâu, chỉ cần nhìn qua đã so sánh được ngay. Đây cũng là lý do phần trăm ra đời trong thực tế: khoảng thế kỷ 15, các thương nhân Ý cần một cách chung để so sánh lãi suất, thuế, lợi nhuận giữa nhiều giao dịch có quy mô khác nhau, nên quen dùng cụm "per cento" (trên một trăm) — từ đó thành ký hiệu % ngày nay.
Mỗi ô là 5%. Bấm để tô, hoặc thử thách dự đoán bên dưới.
Dự đoán: cần tô bao nhiêu ô để được X%?
Đổi phân số thành phần trăm
Nhập một phân số bất kỳ, xem nó tương ứng bao nhiêu phần trăm.
Vì sao % giúp so sánh dễ hơn?
Ba phân số dưới đây trông rất khác nhau — mẫu số lần lượt là 100, 50, 200 — nhưng đổi ra phần trăm thì bằng hệt nhau. Đó chính là điều làm phần trăm hữu ích: nó là một "thước đo chung" để so sánh, bất kể tỉ lệ ban đầu viết dưới mẫu số nào.
Nguyên lý: phần trăm là một cách viết khác của phân số có mẫu số 100.
Bài học: 35% chính là 35/100 — muốn biết một phân số bất kỳ bằng bao nhiêu phần trăm, chỉ cần quy đổi nó về mẫu số 100.
Fibonacci — Xây dãy số
Fibonacci là một dãy số đặc biệt, 2 số đầu tiên của dãy số là 1 và 1. Hãy đoán số tiếp theo trong các ô dưới đây và dần khám phá quy luật của các số trong dãy Fibonacci nhé.
Dãy số Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi: cách cánh hoa mọc, cách hạt hướng dương xếp vòng xoáy, cách vỏ ốc cuộn lại, thậm chí cách các nhánh cây chia ra để đón nắng. Cây và hoa "dùng" cách sắp xếp này vì nó giúp chúng tận dụng ánh sáng và không gian hiệu quả nhất. Lập trình viên, người thiết kế, nhà khoa học tự nhiên đều làm việc với dãy số này trong công việc.
Số tiếp theo là bao nhiêu?
Nguyên lý: mỗi số mới trong dãy bằng tổng của hai số ngay liền trước nó.
Bài học: nhìn cả dãy dưới dạng cột, con sẽ thấy: những cột đầu tiên gần như bằng nhau, nhưng chỉ sau vài lần cộng, các cột đã vọt cao hẳn lên — một quy tắc cộng rất đơn giản, lặp lại nhiều lần, tạo ra tốc độ tăng cực nhanh.
Fibonacci — Tỉ số hội tụ (Golden ratio)
Vì sao tỉ lệ vàng lại nổi tiếng đến vậy? Nhiều nghệ sĩ, kiến trúc sư hiện đại (như Le Corbusier, Salvador Dalí) chủ động dùng tỉ lệ này để tạo bố cục cân đối trong tranh vẽ, logo, thiết kế — dù cần lưu ý: nhiều tuyên bố phổ biến khác (như khẳng định đền Parthenon hay kim tự tháp Ai Cập cố tình xây đúng theo tỉ lệ này) đã bị các nhà nghiên cứu hiện đại chỉ ra là thiếu bằng chứng chắc chắn, chỉ là suy diễn sau này.
Hãy ký hiệu chữ số thứ n trong dãy Fibonacci là F(n), ta có F(1) = 1, F(2) = 1. Hãy kéo slider để xem các số F(n) tiếp theo. Hãy quan sát tỉ số hai số liên tiếp F(n+1)/F(n) "ổn định" lại thành một hình dạng cố định như thế nào nhé.
Dự đoán tỉ số tiếp theo trước khi kéo slider sang bậc kế.
Tỉ lệ vàng là gì, và Fibonacci "tìm ra" nó thế nào?
Tỉ lệ vàng (ký hiệu φ, đọc là "phi", giá trị ≈ 1.618) là một con số đặc biệt: một hình chữ nhật có tỉ lệ cạnh dài : cạnh ngắn đúng bằng φ thì khi cắt bỏ phần vuông lớn nhất, phần còn lại vẫn giữ đúng tỉ lệ φ như ban đầu — tự lặp lại mãi mãi ở quy mô nhỏ dần. Con số này được biết đến từ thời Hy Lạp cổ đại (liên quan tới hình học của Euclid), rất lâu trước khi dãy Fibonacci ra đời ở châu Âu (thế kỷ 13). Điều thú vị mà con vừa tự khám phá ở trên: dù dãy Fibonacci được tạo ra chỉ bằng một quy tắc cộng đơn giản (không hề "cố tình" nhắm tới φ), tỉ số giữa hai số liên tiếp của nó lại tự động tiến gần hơn về đúng φ khi n càng lớn. Đây là lý do dãy Fibonacci trở thành một trong những cách dễ nhất để "chạm tới" và ước lượng tỉ lệ vàng bằng phép tính đơn giản, dù hai khái niệm ra đời độc lập với nhau.
Một "hình chữ nhật vàng" là hình chữ nhật mà khi cắt bỏ phần hình vuông lớn nhất có thể, phần còn lại vẫn có cùng tỉ lệ chiều dài : chiều rộng ~1.618 như hình ban đầu:
Nguyên lý: mỗi số Fibonacci bằng tổng hai số liền trước (F(n) = F(n-1) + F(n-2)).
Bài học: dù dãy số cứ lớn dần mãi, tỉ số giữa hai số liên tiếp lại không "chạy lung tung" — nó tiến gần hơn đến một con số cố định (~1.618) khi n càng lớn. Một quy tắc cộng đơn giản, lặp đi lặp lại, lại tạo ra một hằng số ổn định — đó là điều bất ngờ của dãy số này.
Fibonacci — Bài toán leo cầu thang (Staircase)
Một cầu thang có n bậc. Mỗi bước con được đi 1 hoặc 2 bậc. Có bao nhiêu cách khác nhau để lên hết cầu thang?
Bài toán này gần như nguyên văn một trong những câu hỏi phỏng vấn kinh điển nhất ngành lập trình — "Climbing Stairs" (LeetCode, bài số 70). Tính đến cuối năm 2024, đây là câu hỏi từng được hỏi tại Google (27 lần), Amazon (11 lần), Microsoft (9 lần), Meta (5 lần), Apple (3 lần) và nhiều công ty công nghệ lớn khác khi tuyển lập trình viên — con vừa tự giải được đúng 1 câu hỏi phỏng vấn thật của Google.
Lý do không nằm ở việc công việc hàng ngày cần đếm số cách leo cầu thang, mà vì đây là ví dụ đơn giản nhất để kiểm tra một kỹ năng lập trình viên nào cũng cần: nhận ra khi nào một bài toán lớn có thể chia thành các bài toán nhỏ hơn giống hệt nhau (đúng như cách con vừa tự nhận ra số cách(n) = số cách(n-1) + số cách(n-2)), rồi tránh tính đi tính lại cùng một phần việc nhiều lần. Kỹ thuật này gọi là quy hoạch động (dynamic programming), một trong những công cụ nền tảng nhất của khoa học máy tính.
Ứng dụng thực tế: đúng kỹ thuật "chia nhỏ + tránh lặp lại" này xuất hiện ở khắp nơi — ứng dụng bản đồ tìm đường đi ngắn nhất, các thuật toán so khớp chuỗi DNA trong sinh học (thuật toán Needleman-Wunsch nổi tiếng, dùng để so sánh gen), phần mềm chỉnh sửa ảnh "co giãn ảnh thông minh" (seam carving, thay đổi kích thước ảnh mà không làm méo vật thể quan trọng), và nhiều bài toán tối ưu hoá khác.
Thực hành bài này giúp con điều gì? Mục tiêu không phải để nhớ công thức Fibonacci, mà để luyện đúng 1 thói quen tư duy: khi gặp bài toán phức tạp, thử hỏi "bài toán nhỏ hơn một chút trông như thế nào, và làm sao dùng lại kết quả đó thay vì làm lại từ đầu?". Đây là kỹ năng hữu ích cả trong lập trình lẫn khi giải quyết vấn đề ngoài đời, biết tận dụng những gì đã làm được, thay vì lặp lại công sức không cần thiết.
Dự đoán số cách trước khi xem hết danh sách.
Nguyên lý: để lên tới bậc n, bước cuối cùng chỉ có thể là bước 1 bậc (từ bậc n-1) hoặc bước 2 bậc (từ bậc n-2) — không còn khả năng nào khác.
Bài học: vì vậy số cách(n) = số cách(n-1) + số cách(n-2) — đúng là quy tắc Fibonacci, nhưng lần này con tự đếm ra được, không cần học thuộc. Đây chính là lý do dãy số ở bài "Tỉ số hội tụ" lại cộng dồn như vậy.
π — Khám phá bằng vòng lăn
Bất kỳ đâu có hình tròn, từ bánh xe, ống nước, tới quỹ đạo vệ tinh, π đều xuất hiện, dù π có vô hạn chữ số (xem thêm ở bài "Ứng dụng đời sống"). Nhưng con số kỳ diệu này đến từ đâu? Hãy tự khám phá.
Một hình tròn lăn đúng 1 vòng dọc theo đường thẳng. Đường kính của chính nó sẽ "vừa" được bao nhiêu lần trên quãng đường vừa lăn?
Trước khi bấm lăn, đoán xem đường kính sẽ vừa được bao nhiêu lần:
Chu vi hình tròn luôn gấp π (~3,14159) lần đường kính của chính nó — đúng với mọi hình tròn, không phụ thuộc to nhỏ.
π — Kẹp bằng đa giác
π là số vô tỉ: chữ số thập phân kéo dài mãi mãi, không lặp lại, nên không thể đo trực tiếp bằng thước mà ra chính xác tuyệt đối được. Phương pháp "kẹp" dưới đây chính là cách người cổ đại nghĩ ra để tính được π ngày càng chính xác hơn, không cần đo hình tròn thật.
Vẽ một đa giác đều bên trong và một đa giác đều bên ngoài cùng một đường tròn. Vì hình tròn có thể to hay nhỏ tuỳ ý (hình to hơn thì chu vi cũng dài hơn), nên thay vì so sánh chu vi thô, bài này luôn tính tỉ lệ chu vi ÷ đường kính của từng đa giác — tỉ lệ này không đổi dù hình to hay nhỏ. Tăng dần số cạnh — hai tỉ lệ này sẽ "kẹp" ngày càng chặt quanh π, đúng theo định nghĩa π = chu vi đường tròn ÷ đường kính của nó (nói cách khác: chu vi = π × đường kính = 2π × bán kính — công thức quen thuộc 2πr chính là từ đây, chỉ viết theo bán kính thay vì đường kính).
Nhà toán học Hy Lạp Archimedes (thế kỷ 3 trước Công nguyên) từng làm đúng cách kẹp này bằng tay — tính tới đa giác 96 cạnh — để chứng minh π nằm giữa 223/71 và 22/7, không có máy tính, không có bút chì hiện đại, chỉ bằng hình học thuần túy. Gần 1800 năm sau, nhà toán học Ludolph van Ceulen dành gần cả đời mình để tính π tới 35 chữ số bằng chính phương pháp này — con số đó được khắc lên bia mộ của ông.
Trước khi tăng số cạnh, đoán xem khoảng kẹp sẽ thế nào:
Nguyên lý: chu vi ÷ đường kính của đa giác nội tiếp luôn nhỏ hơn π, chu vi ÷ đường kính của đa giác ngoại tiếp luôn lớn hơn π — nên π luôn bị "kẹp" ở giữa hai giá trị này. Đây cũng chính là lý do công thức chu vi đường tròn là C = π × d = 2π × r: π được định nghĩa là tỉ lệ chu vi ÷ đường kính, không phải một con số ai đó chọn tuỳ ý.
Bài học: càng tăng số cạnh, khoảng kẹp càng hẹp lại — nhưng không bao giờ hẹp về 0 hoàn toàn. Đây chính là lý do π chỉ có thể tính gần đúng, không ai "đo ra" được π một cách tuyệt đối chính xác.
Nguồn: Maths Careers — Ludolph van Ceulen. Cách kẹp bằng đa giác trong bài này lấy cảm hứng từ hoạt động "Approximating Pi" của NRICH.
π — Ứng dụng đời sống
π không chỉ nằm trên giấy — nó tính ra những con số có thật mỗi ngày. Kéo thanh trượt, đoán trước, rồi xem con số chính xác.
Ngày 14 tháng 3 (viết theo kiểu Mỹ là 3.14) được chọn làm "Ngày số Pi" quốc tế — cũng chính là ngày sinh của nhà vật lý Albert Einstein. Còn ở NASA, dù π có vô hạn chữ số, các kỹ sư chỉ cần khoảng 15-16 chữ số thập phân đầu tiên để tính đường bay chính xác cho mọi tàu vũ trụ, kể cả tàu Voyager đang bay xa hơn 20 tỷ km ngoài Hệ Mặt Trời.
Bánh xe đạp lăn được bao xa?
Đoán xem bánh xe lăn được khoảng bao xa:
Đầu kim giây quét quãng đường bao xa?
Trong đúng 1 phút, đoán xem đầu kim giây "vẽ" được quãng đường bao xa:
Bánh pizza to gấp mấy lần?
So với pizza nhỏ 20cm, đoán xem pizza này lớn gấp khoảng bao nhiêu lần về diện tích (không phải đường kính!):
Nguyên lý: chu vi = π × đường kính, diện tích = π × bán kính².
Bài học: π không phải con số chỉ để học thuộc — nó là công cụ tính ra quãng đường bánh xe lăn, quãng đường kim đồng hồ quét, hay diện tích một chiếc pizza, mỗi ngày, trong đời thật. Và vì diện tích dùng bán kính bình phương, gấp đôi đường kính không phải gấp đôi diện tích — mà gấp 4 lần.
Nguồn: NASA/JPL Education — How Many Decimals of Pi Do We Really Need?.
e — Lãi kép chia nhỏ
Số e (~2,71828) xuất hiện bất ngờ ở khắp nơi có sự "tăng trưởng liên tục": lãi suất ngân hàng, vi khuẩn nhân đôi, dân số tăng, chất phóng xạ phân rã. Hiểu được số e giúp trả lời chính xác câu hỏi rất thực tế: chia nhỏ kỳ tính lãi có thực sự lời hơn không, và lời tối đa được bao nhiêu?
Gửi 1.000.000 đồng, lãi suất 10%/năm, sau 1 năm thu được 1.100.000 đồng (= 1.000.000 + 10% × 1.000.000). Lấy tất cả số tiền này gửi tiếp năm thứ 2, đến hạn sẽ thu được 1.210.000 đồng. Vậy nếu lãi suất 10%/năm đó được chia nhỏ ra, tính lãi mỗi 6 tháng, hay 3 tháng, hay 1 tháng 1 lần — vẫn theo nguyên tắc lãi cộng dồn vào gốc để gửi tiếp kỳ sau — thì sau đúng 1 năm, ta có nhận được nhiều tiền hơn phương án ban đầu không? Nếu có thì nhiều hơn bao nhiêu, và tại sao?
Số e được nhà toán học Thụy Sĩ Jacob Bernoulli tìm ra năm 1683 khi nghiên cứu đúng bài toán lãi kép này — không phải Leonhard Euler! Euler chỉ là người đặt tên "e" và nghiên cứu sâu hơn khoảng 40 năm sau đó. Vì vậy dù thường gọi là "số Euler", người đầu tiên tìm ra lại là một nhà toán học khác.
Kéo qua lại để chơi cho quen — thử tăng rồi giảm tần suất chia nhiều lần, xem lãi thay đổi ra sao:
Nhìn toàn cảnh: càng chia nhỏ, lãi thêm được càng ít
Mỗi cột dưới đây là phần lãi thực nhận thêm (không tính vốn gốc) sau đúng 1 năm, ứng với 1 tần suất chia nhỏ khác nhau. Đường đứt màu đỏ đánh dấu mốc 100.000 đồng — thấy rõ lãi tăng dần nhưng mức tăng mỗi lần lại nhỏ dần:
Nguyên lý: chia lãi suất 10%/năm thành n lần/năm, mỗi lần lãi 10%/n, số tiền cuối năm = 1.000.000 × (1 + 0,1/n)ⁿ đồng.
Bài học: càng chia nhỏ, số tiền càng tăng — nhưng mỗi lần tăng thêm lại càng ít, tiến gần một mức trần cố định (1.000.000 × e^0,1 ~ 1.105.171 đồng) mà không bao giờ vượt qua, dù có chia nhỏ đến "mỗi giây" đi nữa. Đúng cơ chế hội tụ đã gặp ở tỉ số Fibonacci → φ, chỉ khác bối cảnh — và số e (~2,71828) chính là "hằng số trần" xuất hiện mỗi khi chia nhỏ liên tục kiểu này.
Nguồn: Wikipedia — E (mathematical constant), UTSA Math Dept — Euler's Number.
e — Chọn quả táo ngon nhất
Hãy tưởng tượng con đi hái táo trong vườn. Có 8 quả, con đi qua từng quả một lần duy nhất — nhìn thấy quả nào là phải quyết ngay: "Hái quả này" hoặc "Bỏ qua, đi tiếp". Đã bỏ qua rồi thì không quay lại hái được nữa. Mục tiêu: hái được đúng quả ngon nhất trong cả vườn.
Đây là một tình huống khó xử: nếu hái ngay quả đầu tiên, biết đâu mấy quả phía sau còn ngon hơn nhiều — tiếc quá. Nhưng nếu cứ chờ, xem hết cả vườn rồi mới quyết, thì tới quả cuối có khi quả ngon nhất đã bị bỏ lỡ từ lâu rồi. Vậy có cách nào tốt hơn "chọn đại theo cảm tính" không?
Bài toán này còn được gọi là "bài toán chọn vợ/chồng" hoặc "bài toán thư ký" — ứng dụng thật khi tìm nhà thuê, tìm chỗ đỗ xe, hay tuyển nhân sự: xem một số lựa chọn đầu để "định chuẩn", rồi chọn ngay lựa chọn đầu tiên tốt hơn tất cả những gì đã thấy. Một bài toán hoàn toàn khác — "phòng gửi mũ" (n khách gửi mũ, người quản lý trả ngẫu nhiên) — cũng cho ra đúng con số 1/e: xác suất không ai nhận đúng mũ của mình khi n đủ lớn.
Bước 1 — Chơi thử theo bản năng
Chưa cần chiến thuật gì cả — cứ theo cảm tính mà chọn, xem con làm tốt tới đâu.
Bước 2 — Thử chiến thuật "ngắm trước, hái sau"
Có một chiến thuật hay hơn hẳn chơi theo cảm tính: ngắm một số quả đầu tiên mà không hái (dù ngon cỡ nào cũng bỏ qua) — chỉ để biết "ngon cỡ nào là ngon". Sau đó, hái ngay quả đầu tiên ngon hơn tất cả những quả đã ngắm.
Ngắm quá ít (ví dụ chỉ 5%): "chuẩn" đặt ra quá thấp, dễ hái đại một quả tạm được ngay từ đầu mà bỏ lỡ quả ngon hơn ở phía sau. Ngắm quá nhiều (ví dụ 90%): gần hết vườn mới bắt đầu hái, hầu như hết cơ hội vì quả ngon nhất có khi đã nằm trong phần "chỉ ngắm, không hái" mất rồi. Vậy ngắm bao nhiêu % là vừa? Chọn một ngưỡng rồi thử xem chiến thuật đó thắng bao nhiêu % trong 500 lượt chơi (test với vườn 20 quả cho có ý nghĩa thống kê):
Hãy thử vài ngưỡng khác nhau (thấp, vừa, cao) rồi so sánh — ngưỡng nào cho tỉ lệ thắng cao nhất?
Nguyên lý: ngắm một phần đầu chỉ để "định chuẩn" (không hái), rồi hái ngay lựa chọn đầu tiên tốt hơn tất cả những gì đã ngắm.
Bài học: nếu con đã thử nhiều ngưỡng ở Bước 2, sẽ thấy tỉ lệ thắng cao nhất luôn rơi quanh 37% — đây không phải con số ngẫu nhiên, mà chính là 1/e ≈ 36,8%. Số e không chỉ nằm trong lãi suất ngân hàng — nó "âm thầm" xuất hiện lại ở một bài toán hoàn toàn khác: chiến thuật chọn lựa tốt nhất.
Nguồn: Math Is Fun — Optimal Stopping: The 37% Rule, Wikipedia — Secretary problem.
Hệ nhị phân — Khái niệm & Thực hành (Binary numbers)
Mọi máy tính, điện thoại, thiết bị điện tử hiện đại, không ngoại lệ, đều lưu trữ và xử lý dữ liệu bằng đúng hệ đếm này bên dưới, dù trên màn hình con vẫn thấy chữ, ảnh, video bình thường. Hiểu hệ nhị phân là hiểu được "ngôn ngữ gốc" thật sự của mọi thiết bị công nghệ quanh ta.
Con người từng dùng nhiều hệ đếm khác nhau qua các thời kỳ: hệ 10 (thập phân, dùng 10 chữ số 0-9) là hệ phổ biến nhất hiện nay; hệ 12 (thập nhị phân, còn để lại dấu vết trong tiếng Anh "a dozen" = 12 cái, hay cách chia 12 giờ/12 tháng); hệ 2 (nhị phân, chỉ dùng 2 chữ số 0-1) — hệ mà mọi máy tính, điện thoại hiện đại đều dùng để lưu trữ dữ liệu. Hệ 10 trở thành phổ biến nhất trên thế giới chủ yếu vì một lý do rất đơn giản: con người có đúng 10 ngón tay — công cụ đếm tự nhiên nhất mà ai cũng có sẵn.
Cơ chế "chuyển hàng" trong hệ 10 con đã quen: đếm hàng đơn vị từ 0 tới 9 — đủ 10 thì chuyển 1 sang hàng chục, hàng đơn vị quay lại 0; đủ 10 ở hàng chục lại chuyển 1 lên hàng trăm. Hệ 2 và hệ 12 hoạt động theo đúng cơ chế đó, chỉ khác "ngưỡng đủ":
- Hệ 2: mỗi hàng chỉ đếm được 0 rồi 1 — đủ 2 là tràn ngay sang hàng kế bên (hàng có giá trị gấp đôi), hàng hiện tại quay lại 0.
- Hệ 12: mỗi hàng đếm từ 0 tới 11 (12 giá trị, thường viết thêm 2 ký hiệu cho 10 và 11) — đủ 12 mới tràn sang hàng kế (hàng có giá trị gấp 12).
Liệt kê các luỹ thừa của 2 giảm dần: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. Xét lần lượt từng luỹ thừa từ lớn nhất: nếu số đang xét lớn hơn hoặc bằng giá trị luỹ thừa đó → bit tương ứng = 1, rồi trừ giá trị luỹ thừa đó khỏi số đang xét, lấy giá trị còn lại đó so với giá trị luỹ thừa nhỏ hơn tiếp theo để lặp lại đúng bước so sánh này; nếu nhỏ hơn → bit = 0, giữ nguyên số đang xét, cũng lấy số đó so với giá trị luỹ thừa nhỏ hơn tiếp theo. Làm liên tục tới luỹ thừa nhỏ nhất (1), rồi ghép các bit lại theo đúng thứ tự.
| Luỹ thừa 2 | Tính toán | Bit |
|---|---|---|
| 128 | 173 ≥ 128 → có, 173 − 128 = 45 | 1 |
| 64 | 45 ≥ 64 → không, giữ 45 | 0 |
| 32 | 45 ≥ 32 → có, 45 − 32 = 13 | 1 |
| 16 | 13 ≥ 16 → không, giữ 13 | 0 |
| 8 | 13 ≥ 8 → có, 13 − 8 = 5 | 1 |
| 4 | 5 ≥ 4 → có, 5 − 4 = 1 | 1 |
| 2 | 1 ≥ 2 → không, giữ 1 | 0 |
| 1 | 1 ≥ 1 → có, 1 − 1 = 0 | 1 |
Ghép các bit đậm lại theo đúng thứ tự: 10101101 = 10101101.
Điền vào đúng cột "Bit" (bấm 0 hoặc 1) cho từng luỹ thừa, theo đúng quy tắc vừa học. Điền đúng 1 dòng thì dòng tiếp theo mới hiện ra để con tính tiếp.
Chọn 2 số thập phân (0-31) — phiên bản nhị phân và tổng thập phân hiện ra ngay lập tức. Bấm "Xem cách cộng" để xem từng cột được cộng chậm rãi, có số nhớ hiện phía trên khi cần — đúng cách con đã học cộng số thập phân, chỉ khác là nhớ khi đủ 2 (không phải đủ 10).
Nguyên lý: hệ nhị phân chỉ có 2 chữ số (0, 1); mỗi hàng gấp đôi hàng bên phải (1, 2, 4, 8, 16...) thay vì gấp 10 lần như hệ thập phân.
Bài học: cộng nhị phân hoạt động y hệt cộng thập phân — cứ đủ "10" (ở đây là đủ 2) thì nhớ 1 sang cột kế bên. Đây chính xác là nguyên lý mà mọi con chip máy tính dùng để cộng số, chỉ khác là được thực hiện bằng hàng tỷ công tắc điện tử mỗi giây thay vì bằng tay.